1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

Bir kareli kağıt üzerindeki karelerin köşe noktalarına kafes noktaları denir. Kenar uzunluğu $1$ cm olan küçük karelere bölünmüş, $204$x$272$ cm boyutlarında dikdörtgen biçiminde bir kareli kağıt düşününüz. Kafes noktaları bu dikdörtgenin köşegenini kaç parçaya böler?

$\textbf{a)}\ 62 \qquad\textbf{b)}\ 64  \qquad\textbf{c)}\ 68 \qquad\textbf{d)}\ 70 \qquad\textbf{e)}\ 71$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen kağıdı koordinat sistemi olarak düşünelim. $0\leq x\leq 204$, $0\leq y\leq 272$ bölgesi kağıdımız olacaktır. Bu kağıdın köşegeni, eğimi $\frac{272}{204}=\frac{4}{3}$ olduğundan ve orijinden geçtiğinden $4x=3y$ doğrusudur. Bu doğrunun bu bölge içerisinde kaç noktadan geçtiğine bakalım.

Eğer $(x_0,y_0)$ kafes noktası bu doğru üzerinde olması için gerek ve yeterli şart $x_0=3k$, $y_0=4k$ olacak şekilde bir $k\in \{0,1,2\dots, 68\}$ olmasıdır. Yani köşegen $69$ kafes noktasından geçer. Lakin soru bize köşegenin kaç parçaya ayrılacağını sormuş. Bu kafes noktalarına sınır noktası olan $(0,0)$ ve $(204,272)$ de dahil olduğundan $n$ tane nokta doğruyu $n-1$ parçaya bölecektir. Dolayısıyla $68$ tane parçaya bölünür.