1996 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$33$ farklı nesne, her kişiye $11$ 'er nesne düşmek üzere, üç kişiye kaç farklı şekilde paylaştırılabilir?

$\textbf{a)}\ \dbinom{33}{11} \dbinom{22}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dbinom{33}{11} + \dbinom{22}{11}  \qquad\textbf{c)}\ \dbinom{33}{11} \qquad\textbf{d)}\ 11! \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{33!}{11!}$

[taftazani44]

1.kişiye  $\begin{pmatrix} 33 \\ 11 \end{pmatrix}$
2.kişiye  $\begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix}$
3.kişiye  $\begin{pmatrix} 11 \\ 11 \end{pmatrix}$
Kadar farklı seçim yapılır.
Sonuç olarak $ \begin{aligned}=\begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 11 \\ 11 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 33 \\ 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 22 \\ 11 \end{pmatrix}\end{aligned}$
Elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$33$ nesneyi sıralayalım, ilk $11$'i ilk kişi, ikinci $11$'i ikinci kişi, üçüncü $11$'i ise son kişi alsın. Bu durumda $33!$ sıralama vardır ama herkesin aldığı $11$ nesne $11!$ sırada olabileceğinden toplam durum $$\frac{33!}{11!\cdot 11!\cdot 11!}=\frac{33!}{11!\cdot 22!}\cdot \frac{22!}{11!\cdot 11!}=\dbinom{33}{11}\cdot \dbinom{22}{11}$$ olacaktır.