Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 11

[geo]

$|AC|=4\sqrt 3$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ dir. $D$, $B$ ve $E$ noktalarından geçen çember, bu üçgenin ağırlık merkezinden de geçiyorsa, $|BF|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4 \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 3 \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Ağırlık merkezi $G$ olsun.
$DE \parallel AC$ ve $DBEG$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle FAG = \angle GED = \angle DBG$.
Buradan da $FG \cdot FB = FA^2$ elde edilir. ($A.A.$ benzerliğinden $\triangle FAG \sim \triangle FBA$.)
$FG = x$ dersek $FB = 2x$. $$3x^2 = (2\sqrt 3)^2 \Longrightarrow x = 2$$ Buradan da $BF = 3x  = 6$ elde edilir.

[geo]

Ağırlık merkezi $G$ olsun. $DE$ ile $BF$ doğruları $H$ de kesişsin.
$DH = HE = \sqrt 3$.
$HG = y$ dersek $GF = 2y$ ve $BH = 3y$.
$H$ noktasının çembere göre kuvvetini yazarsak $$DH \cdot HE = BH \cdot HG \Longrightarrow 3 = 3y^2 \Longrightarrow y = 1$$
Buradan da $BF = 6y = 6$ elde edilir.