Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 08

[geo]

$[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları, sırasıyla $M$ ve $N$ ($M \neq N$) olan bir $ABCD$ dörtgeninde $MN$ doğrusu $[AD]$ kenarını $P$, $[BC]$ kenarını da $Q$ noktasında kesiyor.
$ \text{Alan}(MAP)=x$ ve $\text{Alan}(PDCM)=y$ ise, $\dfrac{|QB|}{|QC|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {y-x}{x}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {y-2x}{2x}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {x+2y}{2y}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {y-x}{2x}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {2x+y}{y}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$D$ den geçen ve $MN$ ye paralel olan doğru $BC$ ve $AC$ ile sırasıyla $R$ ve $S$ noktalarında kesişsin.

$ND = NB \Rightarrow QR=QB$ ve $AM = MC$ bilgisiyle,
$$\dfrac {PD}{AP} = \dfrac{MS}{AM} = \dfrac{MS}{MC} = \dfrac{QR}{QC} = \dfrac{QB}{QC} = k \tag{1}$$
$\dfrac {[MAP]}{[ACD]} = \dfrac {AP \cdot AM}{AD \cdot AC} = \dfrac 12 \cdot \dfrac {AP}{AD} =  \dfrac 12 \cdot \dfrac {1} {\dfrac {AP + PD}{AP}} = \dfrac 12 \cdot \dfrac 1{1 + k} = \dfrac {x}{x+y}$

$\dfrac {x+y}{2x} = 1 + k \Longrightarrow k = \dfrac {y-x}{2x}$ $\blacksquare$

[geo]

Test mantığıyla $ABCD$ yamuk olarak ele alınabilir. ($AB \parallel CD$)
Bu durumda $[MAP]=x$, $[PDCM]=y=3x$ tir. Aradığımız yanıt ise $QB:QC = 1$ dir.
Şıklardan sadece $\dfrac {y-x}{2x} = \dfrac {3x-x}{2x} = 1$ sağlar.

[geo]

$A, B, C, D$ den $PQ$ ya inilen dikme uzunlukları sırasıyla, $h_A$, $h_B$, $h_C
$, $h_D$ olsun.

$h_A = h_C$ ve $h_B=h_D$.

$\dfrac{QB}{QC}= \dfrac{h_B}{h_C}= \dfrac{h_D}{h_A}=\dfrac{PD}{PA}=\dfrac{[PDC]}{[PAC]}=\dfrac{y-x}{2x}$.

[geo]

$C$ den $AD$ ye çizilen paralel $PQ$ yu $P_A$ da, $B$ den $AD$ ye çizilen paralel $PQ$ yu $P_D$ de kessin.
$CP_A=AP$, $BP_D=DP$.
$\dfrac{QB}{QC}=\dfrac{BP_D}{CP_A}=\dfrac{DP}{AP}=\dfrac{[PDC]}{[PAC]}=\dfrac{y-x}{2x}$.