Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 07

[geo]

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $2n^2-36 = m^2-mn$ denklemini sağlayan kaç $(m, n)$ sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[taftazani44]

Yanıt: $\boxed{A}$

Eşitliği düzenlediğimizde $36 = 2n^2+mn-n^2= (2n-m)(n+m)$ elde ederiz.
$(2n-m)+(n+m)=3n$ olduğu için $36$ yı toplamları $3$ ün katı olan iki çarpan şeklinde yazmalıyız.
$3 \cdot 12=36$, $6 \cdot 6=36$ ve $12 \cdot 3 = 36$ durumlarından $(m,n)=(7,5)$, $(m,n)=(8,4)$ ve $(m,n) = (-2, 5)$ bulunur.
$m$ ve $n$ pozitif olduğunundan aradığımız yanıt $2$ dir.