Tübitak Lise Takım Seçme 2021 Soru 8

[berksel03]

$c$ bir gerçel sayı olmak üzere, tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $$f(x-f(y))=f(x-y)+c(f(x)-f(y))$$ eşitliğini sağlayan ve sabit olmayan bir $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu bulunuyorsa,
(a) $c$ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.
(b) $f$ fonksiyonu periyodik olabilir mi?

[Metin Can Aydemir]

a) Ana eşitlikte $x$ yerine $y$ yazarsak $f\left (y-f(y)\right)=f(0)$ elde edilir.

$x$ yerine $x-f(y)$; $y$ yerine önce $y-f(y)$, sonra $0$ yazalım, $$f\left(x-f(y)-f(y-f(y))\right)=f(x-y)+c\left(f(x-f(y))-f(y-f(y))\right)$$ $$f\left(x-f(y)-f(0)\right)=f(x-f(y))+c\left(f(x-f(y))-f(0)\right)$$ Buradan $f(y-f(y))=f(0)$ olduğundan her $x\in \mathbb{R}$ için $f(x-y)=f(x-f(y))$ olduğu görülür.

Ana eşitlikte bu bulguyu yazarsak $c(f(x)-f(y))=0$ elde edilir. $c\neq 0$ ise $f(x)=f(y)$ olacaktır. Yani $f$ sabit fonksiyondur. $c=0$ ise $f(x)=x$ istenileni sağlar. Dolayısıyla $f$ sabit olmak zorunda değildir. İstenileni sağlayan tek $c$ değeri $0$'dır.

b) $f(x)=x-\lfloor x\rfloor$ fonksiyonu periyodiktir ($\{x\}$ de diyebiliriz) ve $c=0$ için verilen şartı sağlar (Burada $\lfloor x\rfloor$, $x$'i aşmayan en büyük tamsayıyı gösterir).