Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 31

[Metin Can Aydemir]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $a^2-b^2=1$ ise, $(3a+b)^2$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

İstenilen ifadeyi verilen ifadeden elde etmek için $(3b+a)^2$ terimini kullanalım, $$(3a+b)^2-(3b+a)^2=(4a+4b)(2a-2b)=8(a^2-b^2)=8$$ olacaktır. Buradan $$(3a+b)^2=8+(3b+a)^2\geq 8$$ olacaktır. $(3a+b)^2=8$ olması için $3b+a=0$ olmalıdır. Bunu verilen şartta yerine koyarsak bir örnek durum bulabiliriz, $(a,b)=\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4},\dfrac{-\sqrt{2}}{4} \right )$ için $(3a+b)^2=8$ sağlanır.