Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 30

[Metin Can Aydemir]

$a$, $b$ ve $c$ tam sayılar olmak üzere, $ax^2+bx+c=0$ eşitliğini sağlayan yalnızca bir $x$ gerçel sayısı varsa, $(a,b,c)$ üçlüsüne güzel üçlü diyelim. $1\leq a, b, c\leq 100$ ve $\text{obeb}(a, b, c) = 1$ koşullarını sağlayan kaç tane $(a,b,c)$ güzel üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 45
\qquad\textbf{b)}\ 47
\qquad\textbf{c)}\ 49
\qquad\textbf{d)}\ 51
\qquad\textbf{e)}\ 53
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{E}$

$ax^2+bx+c=0$ denkleminin tek çözümü varsa $b^2=4ac$ olmalıdır. $b$ çift olacağından $b=2u$ olacak şekilde bir $u$ pozitif tamsayısı vardır. Yerine yazarsak $u^2=ac$ olur. $\text{ebob}(a,c)=d$ dersek çarpımları tamkare olduğundan $\text{ebob}(v,w)=1$ ve $a=dv^2$, $b=dw^2$ olacak şekilde $v$ ve $w$ pozitif tamsayıları vardır. $u^2=d^2v^2w^2$ olacağından $u=dvw$ olur. $\text{ebob}(a,b,c)=1$ olduğundan $d=1$ olmalıdır. Buradan $\text{ebob}(v,w)=1$ olmak üzere, $(a,b,c)=(v^2,2vw,w^2)$ formatındadır. $1\leq a,b,c\leq 100$ olduğundan $1\leq v,w\leq 10$ ve $1\leq vw\leq 50$ olmalıdır.

$v=1$ ise $w\in\{1,2,\dots,10\}$,
$v=2$ ise $w\in \{1,3,5,7,9\}$,
$v=3$ ise $w\in \{1,2,4,5,7,8,10\}$,
$v=4$ ise $w\in \{1,3,5,7,9\}$,
$v=5$ ise $w\in \{1,2,3,4,6,7,8,9\}$,
$v=6$ ise $w\in \{1,5,7\}$,
$v=7$ ise $w\in \{1,2,3,4,5,6\}$,
$v=8$ ise $w\in \{1,3,5\}$,
$v=9$ ise $w\in \{1,2,4,5\}$
$v=10$ ise $w\in \{1,3\}$ olabilir. Toplam $53$ çözüm vardır.