Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 29

[Metin Can Aydemir]

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun iç bölgesinde birbirlerine dıştan teğet olan $\omega_1$ ve $\omega_2$ çemberleri; $\omega_1$ çemberi $[AB]$, $[CD]$ ve $[DA]$ kenarlarına, $\omega_2$ çemberi ise $[AB]$, $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarına teğet olacak şekilde çizilmiştir. $ABCD$ yamuğunun alanı $12$ ve $|AD|+|BC|=8$ ise, $|AB|+|CD|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[vedatde]

ABCD yamuğunun içine çizilen çemberler AB ve CD kenarlarına teğet olduğu için yarıçapları eşittir ve r olsun. 
$w_1$ çemberi AB kenarına X noktasında , AD kenarına Y noktasında ve CD kenarına da Z noktasında teğet olsun.
$w_2$ çemberi AB kenarına T noktasında , BC kenarına U noktasında ve CD kenarına da V noktası teğet olsun.
Çemberler de birbirine W noktasında teğet olsun.
Bir çembere dışındaki bir H noktasından çizilen iki farklı teğetin çembere değme noktaları K ve L ise
$\left|HK\right|=\left|HL\right|$ dir.
Bir çemberin merkezinden teğetinin değme noktasına çizilen doğru , teğetine diktir.

Bunlardan hareketle ABCD yamuğunun alanı

$\frac{\left|AD\right|r}{2}+\frac{\left|AX\right|r}{2}+\frac{\left|DZ\right|r}{2}+\left(2r\right)^2+\frac{\left|BC\right|r}{2}+\frac{\left|BT\right|r}{2}+\frac{\left|CV\right|r}{2}=12$

$\left|AX\right|+\left|DZ\right|=\left|AD\right|$
$\left|BT\right|+\left|CV\right|=\left|BC\right|$ olduğundan
$\left|AD\right|\ r+4r^2+\left|BC\right|r+4r^2=12$
$\left(\left|AD\right|+\left|BC\right|\ \right)r+4r^2=12$
$8r+4r^2=12$
$2r+r^2=3$
$r=1$ bulunur.
$\left|AB\right|=\left|AX\right|+2r+\left|BT\right|$
$\left|CD\right|=\left|DZ\right|+2r+\left|CV\right|$
$\left|AB\right|+\left|CD\right|=\left|AX\right|+2r+\left|BT\right|+\left|DZ\right|+2r+\left|CV\right|$
$\left|AB\right|+\left|CD\right|=\left(\left|AX\right|+\left|DZ\right|\right)+\left(\left|BT\right|+\left|CV\right|\right)+2r+2r$

$\left|AB\right|+\left|CD\right|=\ \left|AD\right|+\left|BC\right|\ +4r=8+4.1=12$