Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 27

[Metin Can Aydemir]

$A$ ve $B$ noktaları arasındaki düz bir yolda sabit hızlarla koşan $X$, $Y$, $Z$ ve $T$ koşucularının $A$ noktasından aynı anda başlayıp $B$ noktasına varmaları ve hiç beklemeden aynı yol üzerinden $A$ noktasına geri dönmeleri gerekmektedir. $X$ in hızı $Y$'nin hızının $5$ katıdır. $Z$'nin hızı $Y$'nin hızının $6$ katıdır. $T$'nin hızı $Y$'nin hızından küçüktür. $T$ koşucusu, yarışma başladıktan $1$ dakika sonra $X$ ile, $4$ dakika sonra $Y$ ile ve $p$ dakika sonra $Z$ ile karşılaşmıştır. Buna göre $p$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{16}{19}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{15}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{8}{11}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{17}{21}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{A}$

$X$, $Y$, $Z$ ve $T$'nin hızları $5v$, $v$, $6v$ ve $vk$ m/dk olsun, burada $0<k<1$'dir. $Y$, $A$'dan $B$'ye $m$ dakikada ulaşsın. Yani $AB$ yolunun uzunluğu $vm$ olsun. $T$, en yavaş koşucu olduğundan diğerleri ile karşılaşma anında kendisi daha $B$ noktasına ulaşamamışken, diğerleri $B$'den geri dönüyor olacaktır. Dolayısıyla $1$ dakika sonra $T$ koşucusu, $vk$ metre yol alırken $X$ koşucusu $2vm-vk=v(2m-k)$ metre yol alacaktır. Ayrıca $X$'in hızı $5v$ olduğundan $2m-k=5$ bulunur.

$4$ dakika sonra $T$, $4vk$ metre yol alırken $Y$ ise $4v$ metre yol alacaktır. Ayrıca $2vm-4vk$ metre yol almış olduğundan $2m-4k=4$ bulunur. Elde ettiğimiz iki denklemden $m=\dfrac{8}{3}$ ve $k=\dfrac{1}{3}$ bulunur. Yani yolun uzunluğu $\dfrac{8v}{3}$ metredir.

$p$ dakika sonra $T$, $\dfrac{vp}{3}$ metre yol alır, $Z$ ise $6vp$ metre yol alır. Aynı şekilde $2vm-pvk=v\left (\dfrac{16-p}{3}\right)$ metre yol almış olacağından $$6vp=v\left (\dfrac{16-p}{3}\right)\Longrightarrow p=\dfrac{16}{19}$$ elde edilir.