Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 18

[Metin Can Aydemir]

$3$ ile bölündüğünde $2$, $5$ ile bölündüğünde $3$, $7$ ile bölündüğünde $5$, $11$ ile bölündüğünde $7$, $13$ ile bölündüğünden $11$ kalanını veren en küçük pozitif tam sayının $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 13
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Bu şartı sağlayan en küçük sayı $n$ olsun. $$n\equiv 2\pmod{3}$$ $$n\equiv 3\pmod{5}$$ $$n\equiv 5\pmod{7}$$ $$n\equiv 7\pmod{11}$$ $$n\equiv 11\pmod{13}$$ sağlanmaktadır. Çin kalan teoreminden bu denkliklerin mod $3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=15015$'de tek çözümü vardır. $2.$, $3.$ ve $5.$ denklikten $n\equiv -2\pmod{5\cdot 7\cdot 13}$ olacaktır. $1.$ ve $4.$ denklikleri birleştirmek için $n=3k+2$ yazarsak $$3k+2\equiv 7\pmod{11}\Rightarrow 3k\equiv 5\equiv -6\equiv{11}\Longrightarrow k\equiv -2\pmod{11}$$ olacağından $n=3k+2=3(11m-2)+2=33m-4$ olacak şekilde bir $m$ tamsayısı vardır. $$n\equiv 33m-4\equiv -2\pmod{455}\Longrightarrow 33m\equiv 2\equiv -453\pmod{455}\Longrightarrow 11m\equiv -151\pmod{455}$$ $$11m\equiv -151+455\cdot 2\equiv 11\cdot 69\pmod{455}\Longrightarrow m\equiv 69\pmod{455}$$ elde edilir. $n=33m-4=33(455t+69)-4=15015t+2273$ olacak şekilde bir $t$ tamsayısı vardır. $n$'nin alabileceği en küçük değer $2273$ olacaktır. $$2273\equiv 12\pmod{17}$$ elde edilir.