Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 10

[Lokman Gökçe]

Bir tahtaya ilk $123$ pozitif tam sayı birer kez yazılmıştır. Bu tahtada kalan sayıların çarpımının ondalık yazılımı $4$ ile bitecek şekilde tahtadaki sayılardan $n$ tanesini silmek mümkün ise, $n$ en ez kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 26
\qquad\textbf{e)}\ 27
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$1,2,3, \dots , 123$ sayıarından $1,2,3$ ile biten $13$'er tane ve $0,4,5,6,7,8,9$ ile biten $12$'şer tane vardır. $0$ ile bitenlerin tamamı silinmelidir. Ayrıca $5$ ile bitenlerin de tamamı silinmelidir, çünkü $5$ ile bir çift sayı çarpılınca $0$ ile bitecektir. Böylece toplam $12+12=24$ tane sayının silinmesi gerektiği anlaşılır. Kalan sayıların çarpımının $\mod 10$ daki değerini inceleyelim. Her $m$ pozitif tam sayısı için $4^{2m} \equiv 6 \pmod{10}$ ve $3^{4m} \equiv 1 \pmod{10}$  olduğundan bu çarpım

$$2^{13}\cdot 3^{13}\cdot 4^{12}\cdot 6^{12}\cdot 7^{12}\cdot 8^{12}\cdot 9^{12}\equiv 2\cdot 3\cdot 4^{36} \pmod{10}  \equiv 6 \pmod{10}$$
olur. O halde bir tane sayı daha silmek gereklidir. Birler basamağı $4$ olan bir sayı silinirse çarpımın değeri
$$2\cdot 3\cdot 4^{35} \pmod{10}  \equiv 4 \pmod{10}$$
olur.