Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$a$ ve $b$ gerçel sayıar olmak üzere, $2a+b+1=0$ ise $a^2 + b^2$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\text{a)}\ \dfrac{2}{9} \quad \quad \qquad \text{b)}\ \dfrac{1}{6}  \quad \quad \qquad\text{c)}\ \dfrac{1}{4}  \quad \quad \qquad\text{d)}\ \dfrac{1}{2}  \quad \quad \qquad\text{e)}\ \dfrac{1}{5} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$b=-2a-1$ olduğundan $f(a)=a^2 + b^2 = a^2 + (2a+1)^2$ denirse $f(a)=5a^2 +4a+1$ olur. Bu ikinci dereceden fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında aldığından $a=-\dfrac{2}{5}$ için $f \left(-\dfrac{2}{5} \right) = \dfrac{4}{5} - \dfrac{8}{5} + 1 = \dfrac{1}{5}$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Soruya geometrik bir çözüm de ben ekleyeyim. Ortaokul seviyesinin biraz üstünde bir çözüm olabilir.

$(a,b)$ noktası $2x+y+1=0$ doğrusu üzerindedir. $x^2+y^2=r^2$ ise bir çember denklemidir ve $(a,b)$ noktası bu çemberin de üzerindedir. Yani bizden $2x+y+1=0$ ile $x^2+y^2=r^2$ geometrik şekillerinin kesiştiği minimum $r$ değerinin bulunması istenmektedir. Çemberin yarıçapı çok küçük olursa kesişmezler, belli bir değerden büyük olursa iki noktada kesişir. Kesişmesini sağlayan minimum yarıçap uzunluğu teğet olması durumunda elde edilir.

$AOB$ dik üçgen olduğundan ve $OH$ dikme olduğundan, Öklit teoreminden, $\dfrac{1}{|AO|^2}+\dfrac{1}{|BO|^2}=\dfrac{1}{|OH|^2}=5$ olacaktır. $|OH|^2=\dfrac{1}{5}$ olduğundan $a^2+b^2=\dfrac{1}{5}$ olacaktır.

[Lokman Gökçe]

Bir başka çözüm de şöyle yapılabilir:

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(2a+b)^2 \leq (a^2 + b^2)(2^2 + 1^2)$ olup $ 2a+b = - 1$ yazılırsa $a^2 + b^2 \geq \dfrac{1}{5}$ elde edilir. Eşitlik durumu $a=2b=-\dfrac{2}{5}$ iken geçerli olur.