Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 30

[Metin Can Aydemir]

$p>2$ bir asal sayı olmak üzere, $2^1, 2^2,\dots, 2^{p-1}$ sayılarının $p$ ile bölümünden kalanlarının kümesi $m$ elemanlı olmak üzere $2^{m-1}<p$ sağlanıyorsa, $p$ sayısına güzel asal diyelim. $2021$'den küçük kaç tane güzel asal sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{D}$

Eğer verilen küme $m$ elemanlı ise $2^{m}\equiv 1\pmod{p}$ olacaktır. Bunun sebebi için mertebe kavramını bilmeniz gerekmektedir ($m$ burada $2$'nin $p$ modunda mertebesidir), bu kısmı okuyucuya bırakıyorum. $2^{m-1}\equiv \dfrac{1}{2}\equiv \dfrac{p+1}{2}\pmod{p}$'dir. $\dfrac{p+1}{2}<p$ olduğundan $2^{m-1}=\dfrac{p+1}{2}$ olacaktır ve buradan $p=2^m-1$ elde edilir. Burada $m=1$ olamaz, ayrıca bileşik sayıda olamaz çünkü $m=ab$ ise $2^a-1|2^m-1$ olacaktır. Dolayısıyla $m$ asal sayıdır. $2^m-1<2021$ olduğundan $m\leq 10$ elde edilir. Ayrıca asal sayı olduğundan $m=2,3,5,7$ olabilir. Bu değerler için $p=3,7,31,127$ bulunur. Şimdi bu değerler için $m$'nin gerçekten de mertebe olup olmadığını kontrol etmek kaldı ki $2^m\equiv 1\pmod{p}$ olduğundan mertebe ya $m$'dir ya da $m$'nin bir bölenidir. $m$ asal sayı olduğundan ve $1$ mertebe olamayacağından $m$ olmalıdır. Dolayısıyla $4$ tane güzel asal sayı vardır.