Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 27

[Metin Can Aydemir]

$x_1,x_2,\dots x_5$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $$\dfrac{64}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_5}+8x_5^2$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{119}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{121}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{251}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{63}{2}
\qquad\textbf{e)}\ 32
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{D}$

En küçük değeri istenen ifade $S$ olsun.

$32$ tane $\dfrac{2}{x_1}$, $16$ tane $\dfrac{x_1^2}{16x_2}$, $8$ tane $\dfrac{x_2^2}{8x_3}$, $4$ tane $\dfrac{x_3^2}{4x_4}$, $2$ tane $\dfrac{x_4^2}{2x_5}$, $1$ tane $8x_5^2$ için $AO \geq GO$ eşitsizliği yazılırsa $x_1,x_2,\dots x_5$ terimlerinin eşitsizliğin $GO$ tarafı hesaplanıyorken sadeleşeceği ve $AO$ tarafının $\dfrac{S}{32+16+8+4+2+1}$ olacağı açıktır,

$\dfrac{S}{63} \geq
\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}63]{\dfrac{2^{32}\cdot 8}{16^{16}\cdot 8^8 \cdot 4^4 \cdot 2^2}} =
\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}63]{\dfrac{1}{2^{63}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow S \geq \dfrac{63}{2}$ bulunur.

Eşitlik durumu için, $\dfrac{2}{x_1} = \dfrac{x_1^2}{16x_2} = \dfrac{x_2^2}{8x_3} = \dfrac{x_3^2}{4x_4} = \dfrac{x_4^2}{2x_5} = 8x_5^2 = k$ olması gerekir, yerine yazılırsa:
$S = 32k+16k+8k+4k+2k+k= \dfrac{63}{2}$ den $k = \dfrac{1}{2}$ bulunup, $(x_1, x_2 ,x_3, x_4, x_5) = (4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4})$ bulunur.