Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 25

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC]$, $[AC]$ ve $[AB]$ kenarları üzerinde alınan $D$, $E$ ve $F$ noktaları için $AD$, $BE$ ve $CF$ noktadaştır. $|BD|=|CD|$, $CF\bot AB$, $|CF|=8$, $|DF|=5$ ve $|EF|=6$ ise, $|BE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{18}{\sqrt{5}}
\qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt{5}
\qquad\textbf{d)}\ 6\sqrt{5}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{24}{\sqrt{5}}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$CF\bot AB$ ve $|BD|=|DC|$ olduğundan $|DF|=|BD|=|DC|=5$ olur. Ceva teoreminden $\dfrac{|AF|}{|FB|}\dfrac{|BD|}{|DC|}\dfrac{|CE|}{|AE|}=1$ olur, buradan $\dfrac{|AF|}{|FB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}$ bulunur, yani $EF\parallel BC$'dir. Tales teoreminden $|AF|=9$ buluruz. $m(\widehat{FEB})=m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBC})$ olacağından $BE$ açıortaydır. Açıortay teoreminden, bir $k$ reel sayısı için $|AE|=15k$ ve $|EC|=10k$ bulunur. $|BE|=\sqrt{15\cdot 10-15k\cdot 10k}=\sqrt{150(1-k^2)}$ olacaktır. $AFC$'de pisagor teoreminden $25k=\sqrt{9^2+8^2}=\sqrt{145}$ olur. $|BE|=\sqrt{150\left(1-\dfrac{145}{625}\right )}=\dfrac{24}{\sqrt{5}}$ elde edilir.

[geo]

Cevap: $\boxed{E}$

$CF\bot AB$ ve $|BD|=|DC|$ olduğundan $|DF|=|BD|=|DC|=5$ olur. Ceva teoreminden $\dfrac{|AF|}{|FB|}\dfrac{|BD|}{|DC|}\dfrac{|CE|}{|AE|}=1$ olur, buradan $\dfrac{|AF|}{|FB|}=\dfrac{|AE|}{|EC|}$ bulunur, yani $EF\parallel BC$'dir. Tales teoreminden $|AF|=9$ buluruz. $m(\widehat{FEB})=m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBC})$ olacağından $BE$ açıortaydır. Açıortay teoreminden, bir $k$ reel sayısı için $|AE|=15k$ ve $|EC|=10k$ bulunur. $|BE|=\sqrt{15\cdot 10-15k\cdot 10k}=\sqrt{150(1-k^2)}$ olacaktır. $AFC$'de pisagor teoreminden $25k=\sqrt{9^2+8^2}=\sqrt{145}$ olur. $|BE|=\sqrt{150\left(1-\dfrac{145}{625}\right )}=\dfrac{24}{\sqrt{5}}$ elde edilir.

$BFC$ üçgeninde açıortay hesaplayıp oradan da $BE$ hesaplamasına geçilebilir.

Bu soru tipi, daha önce forumda burada ve burada işlenmiş.