Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 21

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $m(\widehat{ACB})=100^\circ$, $m(\widehat{ACD})=30^\circ$ ve $m(\widehat{ABD} )=m(\widehat{DBC})=20^\circ$ ise, $m(\widehat{DAC})$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 40^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 50^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 55^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{A}$

Açılar derece cinsinden olmak üzere, $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ ve $AC$ ile $BD$'nun kesişimi $K$ olsun. Basit açı hesaplarıyla $m(\widehat{ACD}) = 30$, $m(\widehat{CAB}) = 40$ bulunur. $ABCD$ dörtgeninde $K$'na göre trigonometrik ceva yazılırsa, $\dfrac{\sin{20}}{\sin{40}}\cdot \dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} \cdot \dfrac{\sin{30}}{\sin{30}}\cdot \dfrac{\sin{100}}{\sin{20}} = 1$ elde edilir, aynı olanlar sadeleştirilip $\alpha$ içeren terimler bir tarafa toplanırsa $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ elde edilir, $\alpha = m(\widehat{DAC}) = 40$ sağlar.

[geo]

$AC$ ile $BD$, $E$ noktasında keşissin.
$A$ nın $BD$ ye göre simetriği $F$ olsun.
$B, C, F$ doğrusal, $AB = BF$ ve $\angle BAE = \angle EFB = 40^\circ$ olacaktır.
Basit açı hesapları ile $\angle DCF = 50^\circ$, $\angle EDC = \angle ECD = 30^\circ$ ve $\angle CEF = \angle DEF = 60^\circ$ bulunur.
$EF \perp DC$ ve $ED = EC$ olduğu için $DECF$ bir deltoittir. Bu durumda $\angle DFE = \angle EFC = 40^\circ$ ve $BD = BF = AB$ olacaktır. $\triangle ABD$ ikizkenar üçgeninde $\angle BAD = 80^\circ$ ve $\angle CAD = 40^\circ$ dir.

[geo]

Bu sorunun daha genel hali şudur:
$ABCD$ dörtgeninde $\angle ABD = \angle DBC$ ve $\angle EDC = \angle ECD = 30^\circ$ ise $\angle BAC = \angle DAC$ olduğunu gösteriniz.

Genel hali için şöyle bir çözüm yolu izlenebilir:
$DAC$ üçgeninin çevrel çemberi $BD$ yi $P$ de kessin.
$\angle BAP = \alpha$ dersek $\angle PAC = 30^\circ$, $\angle ABP = \angle PBC = 30^\circ - \alpha$ olacaktır. Bu da soruyu Model 4.3 ile özdeş hale getiriyor. Buradan da $\angle BCP = 2\alpha$, $\angle DAC = \angle DPC = 30^\circ + \alpha = \angle BAC$ elde edilir.

Soruyu, Model 4.3 e dönüştürüp çözüme gidebileceğimiz gibi,  Model 4.3 çözümlerinden esinlenerek de çözüm oluşturabiliriz.

[DrLucky]

Cevap: $\boxed{A}$

Açılar derece cinsinden olmak üzere, $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ ve $AC$ ile $BD$'nun kesişimi $K$ olsun. Basit açı hesaplarıyla $m(\widehat{ACD}) = 30$, $m(\widehat{CAB}) = 40$ bulunur. $ABCD$ dörtgeninde $K$'na göre trigonometrik ceva yazılırsa, $\dfrac{\sin{20}}{\sin{40}}\cdot \dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} \cdot \dfrac{\sin{30}}{\sin{30}}\cdot \dfrac{\sin{100}}{\sin{20}} = 1$ elde edilir, aynı olanlar sadeleştirilip $\alpha$ içeren terimler bir tarafa toplanırsa $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ elde edilir, $\alpha = m(\widehat{DAC}) = 40$ sağlar.

Çözümün için sağ olun. Burada son kısımda $\dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ olduğunu nasıl bulduk?

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Açılar derece cinsinden olmak üzere, $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ ve $AC$ ile $BD$'nun kesişimi $K$ olsun. Basit açı hesaplarıyla $m(\widehat{ACD}) = 30$, $m(\widehat{CAB}) = 40$ bulunur. $ABCD$ dörtgeninde $K$'na göre trigonometrik ceva yazılırsa, $\dfrac{\sin{20}}{\sin{40}}\cdot \dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} \cdot \dfrac{\sin{30}}{\sin{30}}\cdot \dfrac{\sin{100}}{\sin{20}} = 1$ elde edilir, aynı olanlar sadeleştirilip $\alpha$ içeren terimler bir tarafa toplanırsa $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ elde edilir, $\alpha = m(\widehat{DAC}) = 40$ sağlar.

Çözümün için sağ olun. Burada son kısımda $\dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ olduğunu nasıl bulduk?

Derece cinsinden $\sin{x}=\sin{(180-x)}$ olduğundan $\sin{100}=\sin{80}$ olacaktır.

[geo]

Çözümün için sağ olun. Burada son kısımda $\dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ olduğunu nasıl bulduk?

$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} = \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}$ eşitliğinden $\alpha = 40^\circ$ nasıl elde ettik diye soruyorsanız, bu sonuca varmanın birkaç yolu var.

$\begin{array}{lcl}\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} & =& \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 100^\circ} =\dfrac {\sin 40^\circ}{\sin (180^\circ - 100^\circ)}= \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \\ &=& \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin (120^\circ - 40^\circ)} \end{array}$

Son eşitliğe bakarak, açık şekilde $\alpha = 40^\circ$'in eşitliği sağladığını söyleyebiliriz.
Peki bu çözüm için yeterli midir?
$\triangle ABC$ açıları belirli bir üçgen. $AC$ ile $30^\circ$ lik açı yapan doğru ile $ABC$ açısının açı ortayı sabit bir noktada kesişir. Yani sorunun tek bir cevabı vardır. $\alpha = 40^\circ$ in sağladığı açık olduğu için, sorunun başka çözümü yoktur.

Bir diğer çözüm de,
$\begin{array}{lcl}
\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} = \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} & \Rightarrow & \sin 80^\circ \sin \alpha = \sin (120^\circ - \alpha) \sin 40^\circ 
\\ & \Rightarrow & \cos (80^\circ -\alpha) - \cos (80^\circ + \alpha) = \cos (80^\circ - \alpha) - \cos (160^\circ-\alpha)
\\ & \Rightarrow & \cos (80^\circ - \alpha) = \cos (160^\circ - \alpha)
\\ & \Rightarrow & 80^\circ + \alpha = 160^\circ - \alpha + k\cdot 360^\circ
\\ & \Rightarrow & \alpha = 40^\circ + k\cdot 180^\circ < 180^\circ
\\ & \Rightarrow & \alpha = 40^\circ
\end{array}$
şeklinde elde edilebilir.

Özetle ikinci yöntemdeki kadar işlemi her seferinde yapmak yerine, birinci yöntemdeki sağlayan değer üzerinden eşitliği benzetmek daha kolay olacaktır.

[DrLucky]

Çözümün için sağ olun. Burada son kısımda $\dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ olduğunu nasıl bulduk?

$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} = \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}$ eşitliğinden $\alpha = 40^\circ$ nasıl elde ettik diye soruyorsanız, bu sonuca varmanın birkaç yolu var.

$\begin{array}{lcl}\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} & =& \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 100^\circ} =\dfrac {\sin 40^\circ}{\sin (180^\circ - 100^\circ)}= \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \\ &=& \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin (120^\circ - 40^\circ)} \end{array}$

Son eşitliğe bakarak, açık şekilde $\alpha = 40^\circ$'in eşitliği sağladığını söyleyebiliriz.
Peki bu çözüm için yeterli midir?
$\triangle ABC$ açıları belirli bir üçgen. $AC$ ile $30^\circ$ lik açı yapan doğru ile $ABC$ açısının açı ortayı sabit bir noktada kesişir. Yani sorunun tek bir cevabı vardır. $\alpha = 40^\circ$ in sağladığı açık olduğu için, sorunun başka çözümü yoktur.

Bir diğer çözüm de,
$\begin{array}{lcl}
\dfrac{\sin \alpha}{\sin (120^\circ - \alpha)} = \dfrac {\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} & \Rightarrow & \sin 80^\circ \sin \alpha = \sin (120^\circ - \alpha) \sin 40^\circ 
\\ & \Rightarrow & \cos (80^\circ -\alpha) - \cos (80^\circ + \alpha) = \cos (80^\circ - \alpha) - \cos (160^\circ-\alpha)
\\ & \Rightarrow & \cos (80^\circ - \alpha) = \cos (160^\circ - \alpha)
\\ & \Rightarrow & 80^\circ + \alpha = 160^\circ - \alpha + k\cdot 360^\circ
\\ & \Rightarrow & \alpha = 40^\circ + k\cdot 180^\circ < 180^\circ
\\ & \Rightarrow & \alpha = 40^\circ
\end{array}$
şeklinde elde edilebilir.

Özetle ikinci yöntemdeki kadar işlemi her seferinde yapmak yerine, birinci yöntemdeki sağlayan değer üzerinden eşitliği benzetmek daha kolay olacaktır.

Cevap: $\boxed{A}$

Açılar derece cinsinden olmak üzere, $m(\widehat{DAC}) = \alpha$ ve $AC$ ile $BD$'nun kesişimi $K$ olsun. Basit açı hesaplarıyla $m(\widehat{ACD}) = 30$, $m(\widehat{CAB}) = 40$ bulunur. $ABCD$ dörtgeninde $K$'na göre trigonometrik ceva yazılırsa, $\dfrac{\sin{20}}{\sin{40}}\cdot \dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} \cdot \dfrac{\sin{30}}{\sin{30}}\cdot \dfrac{\sin{100}}{\sin{20}} = 1$ elde edilir, aynı olanlar sadeleştirilip $\alpha$ içeren terimler bir tarafa toplanırsa $\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(120-\alpha)}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ elde edilir, $\alpha = m(\widehat{DAC}) = 40$ sağlar.

Çözümün için sağ olun. Burada son kısımda $\dfrac{\sin{40}}{\sin{100}} = \dfrac{\sin{40}}{\sin{80}}$ olduğunu nasıl bulduk?

Derece cinsinden $\sin{x}=\sin{(180-x)}$ olduğundan $\sin{100}=\sin{80}$ olacaktır.

Tamamdır çok sağ olun cevaplarınız için.