Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 19

[Metin Can Aydemir]

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x^3+ax^2+108=0$ denklemini sağlayan tam olarak iki farklı $x$ gerçel sayısı bulunmaktadır. Buna göre $a$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -6
\qquad\textbf{b)}\ -3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen üçüncü dereceden denklemin tam olarak $2$ çözümü olması için katlı kökü olmalıdır. $P(x)$ polinomu için $(x-c)^2\mid P(x)$ ise $(x-c)\mid P'(x)$'dir. Dolayısıyla $c$, verilen denklemde katlı bir kökse, türevinin de köküdür. Türevi $3x^2+2ax=3x\left (x+\dfrac{2a}{3}\right)$ olduğundan katlık kök $x=0$ veya $x=\dfrac{-2a}{3}$'dür. $x=0$ ana denklemde çözüm olmadığından katlı kök $x=\dfrac{-2a}{3}$'dür. Köklerin toplamı $-a$ olduğundan da $x_1+x_2+x_3=\left (\dfrac{-2a}{3}\right )+\left (\dfrac{-2a}{3}\right )+x_3=-a$'dır ve buradan son kök de $x_3=\dfrac{a}{3}$ bulunur. Yani ifadenin çarpanlara ayrılmış hali $$\left(x+\dfrac{2a}{3}\right )^2\left(x-\dfrac{a}{3}\right )=0$$ olacaktır. Sabit terim $-\dfrac{4a^3}{27}=108$ olduğundan $a=-9$ bulunur.

[DrLucky]

Tam olarak iki reel kök varsa  $P(x) = (x+b)^2(x+c)$ formundadır. Açarsak $x^3 +ax^2+108 = x^3 + (2b+c)x^2 + (2bc + b^2)x + cb^2$ elde edilir ve polinom eşitliğinden
 $(I) 2b+c = a$
 $(II) 2bc + b^2 = 0$
 $(III) cb^2 = 108$
denklemleri elde edilir. $(II)$'yi düzenlersek $b(2c+b) = 0$ elde edilir. $(III)$'ten $b=0$ olamayacağını görebiliriz. O halde $b=-2c$ olmalıdır. $(III)$'te yerine yazarsak $4c^3 = 108$, $c=3$ bulunur. Bunu da $(I)$'de yazarsak $-3c = -9 = a$ bulunur.