Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 15

[Metin Can Aydemir]

$n$ sayısının $2041$, $2042$, $2043$, $2044$ ve $2045$ değerlerinden kaç tanesi için, $$P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=2021 \quad \text{ve} \quad P(m)=n$$ olacak şekilde tam sayı katsayılı bir $P(x)$ polinomu ve $m$ tam sayısı bulunur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{A}$

$P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=2021$ olduğundan Tam sayı katsayılı bir $Q(x)$ polinomu için $P(x)=Q(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2021$ olarak yazılabilir. Ardışık $k$ tane tamsayının çarpımı $k!$ ile bölünür. Dolayısıyla $x$ tamsayısı için $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ ifadesi $24$ ile tam bölünür. Dolayısıyla $$n\equiv P(m)\equiv 2021\equiv 5\pmod{24}$$ olacaktır. Verilenlerden sadece $2045$ sayısı bu şartı sağlar. $n=2045$ için örnek durum verelim, $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2021$ için $P(5)=2045$'dir.