Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 10

[Metin Can Aydemir]

$n=5,7,11,13,121$ değerlerinden kaç tanesi için $\dfrac{k^2+3k+5}{n}$ tam sayı olacak şekilde $k$ tam sayısı bulunmaz?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{C}$

Bizden $k^2+3k+5\equiv 0\pmod{n}$ olacak şekilde $k$ tamsayısı olup olmadığını bulmamız isteniliyor. Verilen değerlerin hepsi tek sayı olduğundan $n$'yi tek sayı olarak değerlendirebiliriz. Dolayısıyla $$4k^2+12k+20\equiv (2k+3)^2+11\equiv 0\pmod{n}$$ olması yeterlidir. $-11$, $n$ modunda karekalandır. Öncelikle $n=11$ için karekalan olduğu barizdir fakat $n=121$ için karekalan değildir. Çünkü $(2k+3)^2\equiv 0\pmod{11}$ ise $(2k+3)^2\equiv 0\pmod{121}$ olacaktır. $n=5,7,13$ için de karekalanları hesaplamak kolaydır. $n=5$ için karekalandır fakat $n=13$ ve $n=7$ için $-11$ karekalan değildir. Dolayısıyla sadece $n=7,13,121$ için verilen ifadeyi tam sayı yapan bir $k$ tamsayısı bulunmaz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

Karekalan kavramına benim gibi hakim olmayanlar için daha işleme dayalı bir çözüm verelim. $n=5$  için $k=5p$  durumu ifadeyi tam sayı yapar. $n=7$  durumunda $k=7p\pm 1,7p \pm 2,7p \pm 3$  durumları denendiğinde $n\nmid k^2+3k+5$  tir. Bu $n=13$  durumunda da geçerlidir. $n=11$  durumunda sadece $k=11p+4$  için ifade tam sayı olur. $n=121$  için $n=11$  durumunda $k=11p+4$  olması gerektiğinden $n\mid (11p+4)^2+3(11p+4)+5=121k^2+121k+33$  olmalıdır, ki bu sağlanmaz. Yani $n=7,13,121$  durumunda ifade tam sayı değildir.