Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 07

[Metin Can Aydemir]

Bir $\left (a_n \right)_{n=1}^{100}$ gerçel sayı dizisi $a_1=3$ ve her $n=1,2,\dots , 99$ için $$a_{n+1}=a_n+1-\dfrac{2}{n^2+n}$$ eşitliğini sağlıyorsa, $a_1+2a_2+\cdots +100a_{100}$ toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 335850
\qquad\textbf{b)}\ 338505
\qquad\textbf{c)}\ 338550
\qquad\textbf{d)}\ 383505
\qquad\textbf{e)}\ 383550
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{C}$

Öncelikle $\dfrac{2}{n^2+n}$ ifadesini basit kesirlere ayıralım. $\dfrac{2}{n^2+n}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}$ olduğundan $$a_{n+1}-a_n=1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{2}{n+1}$$ olacaktır. $n\leq 99$ için $n$ yerine $1,2,\dots n$ yazıp taraf tarafa toplarsak $$a_{n+1}-a_1=n-\dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{n+1}\Rightarrow a_{n+1}=n+1+\dfrac{2}{n+1}$$ elde edilir. Yani $n=1,2,\dots,100$ için $a_n=n+\dfrac{2}{n}$ olacaktır. $$\sum_{n=1}^{100}na_n=\sum_{n=1}^{100}(n^2+2)=200+\sum_{n=1}^{100}n^2$$ olacaktır. $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ olduğundan istenilen toplam $200+\dfrac{100\cdot 101\cdot 201}{6}=338550$ elde edilir.