Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 06

[Metin Can Aydemir]

Kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için $n^3$ sayısının rakamları toplamı $4n$ sayısına eşittir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$n^3=a_1a_2\dots a_k$ diyelim. $m$ sayısının rakamları toplamına $s(m)$ dersek, $s(n^3)=a_1+a_2+\cdots+a_k$'dir. $a_i$ sayıları birer rakam olduğundan $s(n^3)=4n\leq 9k$'dır. Ayrıca $n^3\geq 10^{k-1}$ olduğundan $4n\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$ olacaktır. Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür. Yani en fazla $3$ basamaklı tam küpler denenmelidir. Bunlar ise $1, 8, 27 ,64, 125$, $216, 343, 512, 729$'dur. Bunlardan sadece $8$ istenileni sağlar. Yani, şartı sağlayan tek sayı $n=2$'dir.

[DrLucky]

Cevap: $\boxed{A}$
Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür.

Çözüm için teşekkürler. Bu kısmın doğruluğunu eşitsizliklerle nasıl gösterebiliriz?

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$
Buradan $$9k\geq 4\cdot 10^{\frac{k-1}{3}}$$ elde edilecektir. İfadenin sağ tarafı üstel fonksiyon, sol tarafı ise polinom olduğundan $k$ arttınca eşitsizlik bozulacaktır ($10^\frac{1}{3}>2$ olduğundan sağ taraf çok hızlı büyüyecektir). Ufak değerleri denerse, $k\geq 4$ için eşitsizliğin sağlanmadığı görülür.

Çözüm için teşekkürler. Bu kısmın doğruluğunu eşitsizliklerle nasıl gösterebiliriz?

Tümevarım ile $n\geq 5$ için $4\cdot 10^{\frac{n-1}{3}}> 2^{n+1}\geq 9n$ olduğu gösterilebilir. $10^{\frac{1}{3}}>2$ olduğundan en soldaki eşitsizlik her zaman doğrudur. Sağ kısımda tümevarım uygulayalım. $n=5$ için $64\geq 45$ olduğundan sağlanır. Varsayalım ki eşitsizlik $n=k\geq 5$ için doğru olsun. O halde $$2^{k+1}-9k\geq 0$$ olacaktır. $$\left (2^{k+2}-9(k+1)\right )-\left (2^{k+1}-9k\right)=2^{k+1}-9>0$$ olur çünkü $k\geq 5$'dir. Dolayısıyla $2^{k+2}-9(k+1)>2^{k+1}-9k\geq 0$ elde edilir. Yani eşitsizlik $n=k+1$ için de doğrudur. Tümevarımdan tüm $n\geq 5$ için doğrudur diyebiliriz. Ayrıca $n=4$ için de $4\cdot 10^{\frac{n-1}{3}}> 9n$ sağlandığından $n\geq 4$ için son eşitsizlik sağlanır diyebiliriz.