Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 02

[Metin Can Aydemir]

Kaç farklı $p$ asal sayısı için $29^{p+1}-1$ sayısı $p$ ile tam bölünür?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

Öncelikle $p\neq 29$ olduğunu görelim. Dolayısıyla $(p,29)=1$ olacaktır. $29^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ olduğundan $$29^{p+1}-1\equiv 29^2-1\equiv 0\pmod{p}$$ olacaktır. $29^2-1=(29-1)(29+1)=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ olduğundan $p=2,3,5,7$ olabilir. Buradan $\boxed{4}$ farklı $p$ asalı bulunur.