Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 12

[Lokman Gökçe]

$5\times 5$ bir satranç tahtasının her bir birim karesine $1$, $2$ ve $3$ sayılarından biri, ortak bir kenar paylaşan herhangi iki birim karedeki sayıların toplamı tek sayı olacak biçimde kaç farklı şekilde yazılabilir?

$\text{a)}\ 8192 \qquad\text{b)}\ 10296 \qquad\text{c)}\ 12288 \qquad\text{d)}\ 14864 \qquad\text{e)}\ 16384$
 

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$
$5\times 5$ tahtada tek sayıların gelebileceği yerleri $T$ ile gösterirsek

$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 T  &  & T &  & T \\ \hline
 & T &  & T &  \\ \hline
 T &  & T &   & T \\ \hline
 & T &  & T &  \\ \hline
 T &  & T &  & T \\ \hline
\end{array}
$   veya   $
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
   & T &  & T &  \\ \hline
 T &  & T &   & T \\ \hline
 & T &  & T &  \\ \hline
 T &  & T &  & T \\ \hline
 & T &  & T &  \\ \hline
\end{array}
$

durumları oluşur. Boş karelere de $2$ sayısı yazılacaktır. Her $T$ için $2$ farklı seçim ($1$ ya da $3$ yazılabilir) olduğundan ilk şekilde $2^{13}$, ikinci şekilde ise $2^{12}$ farklı yolla tahtayı doldurabiliriz. Toplamda $2^{13} + 2^{12} = 12288$ elde edilir.