Gönderen Konu: Tamkare sorusu  (Okunma sayısı 273 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 361
  • Karma: +7/-0
Tamkare sorusu
« : Şubat 03, 2021, 01:02:53 ös »
$p$ asal sayı ve $n$ tamsayı olmak üzere $$p^3-4p^2+3p+4=n^2$$ eşitliğini sağlayan tüm $(p,n)$ çiftlerini bulunuz. (Metin Aydemir)

Not: Bu soru için 2009 ikinci aşama 1. sorusundan esinlendim. Aynı formatta oldukları için onu da çözmeniz faydalı olacaktır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 361
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tamkare sorusu
« Yanıtla #1 : Şubat 06, 2021, 11:58:46 ös »
Öncelikle $n=0$ için çözüm var mı deneyelim, $p^3-4p^2+3p+4=0$ denkleminde $p|p^3-4p^2+3p+4$ olacağından $p|4$ olmalıdır. $p$ asal sayı olduğundan $p=2$ olmalıdır fakat denklemi sağlamaz. Şimdi de $n\neq 0$ durumuna bakalım.

$(p,n)$ ikilisi bir çözüm ise $(p,-n)$ de çözümdür. Dolayısıyla $n>0$ durumunu incelememiz yeterlidir. $$p^3-4p^2+3p+4=n^2\Rightarrow p\mid n^2-4$$ bulunur. Buradan $p\mid n-2$ veya $p\mid n+2$ bulunur.

i) $p\mid n-2$ ise $n=pk+2$ formatında bulunur. $n$'nin pozitif olduğunu kabul ettiğimiz için $k\geq 0$ olmalıdır. $k=0$ için $n=2$ bulunur. $$p^3-4p^2+3p+4=4\Rightarrow p(p-3)(p-1)=0\Rightarrow p=3$$ bulunur. $k>0$ ise $$p^3-4p^2+3p+4=(pk+2)^2\Rightarrow 4k-3=p(p-4-k^2)\geq 4\cdot 1-3>0\Rightarrow p>k^2+4$$ bulunur. Ayrıca $p\mid 4k-3$ olduğundan ve $4k-3>0$ olduğundan $4k-3\geq p$ elde edilir. $$\longrightarrow 4k-3>k^2+4\Rightarrow k^2-4k+7<0$$ bulunur fakat çözüm yoktur.

ii) $p\mid n+2$ ise $n=pk-2$ formatında bulunur. $n$ pozitif olduğundan $k\geq 1$ bulunur. $$p^3-4p^2+3p+4=(pk-2)^2\Rightarrow 4k+3=p(k^2-p+4)$$ elde edilir. $p\mid 4k+3$ olacağından $4k+3\geq p$ olmalıdır. $$\Rightarrow k\geq \dfrac{p-3}{4}\Rightarrow n=pk-2\geq \dfrac{p^2-3p-8}{4}$$ elde edilir.

iia) $p^2-3p-8<0$ ise $$\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}<p<\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\Rightarrow p<5$$ elde edilir. $p=2$ ve $p=3$ durumlarını zaten incelemiştik.

iib) $p^2-3p-8\geq 0$ ise $n^2\geq \left (\dfrac{p^2-3p-8}{4} \right )^2$ olur. $$16(p^3-4p^2+3p+4)\geq p^4-6p^3-7p^2+48p+64 \Rightarrow 0\geq p^2(p-3)(p-19)$$ elde edilir. Buradan $p\leq 19$ elde edilir. Deneme ile $p=19$ için $n=74$ bulunur.

Buradan $p=3$ ve $p=19$ bulunur. Yerine yazarsak $(p,n)=(3,2),(3,-2),(19,74),(19,-74)$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3098
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tamkare sorusu
« Yanıtla #2 : Şubat 08, 2021, 12:33:53 öö »
Soru kurgusu çok güzel, tebrikler  8)
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal