Bu eşitsizliği ispatlamak için dörtgenlerle ilgili ünlü iki teoremi bilmek yeterlidir.
Euler'in Teoremi: $ABCD$ bir konveks dörtgen olsun. $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ olmak üzere, $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|EF|^2$$ eşitliği sağlanır.
Ptolemy Teoremi: $ABCD$ bir kirişler dörtgeni olmak üzere, $$|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|DA|=|AC|\cdot|BD|$$ eşitliği sağlanır.
Euler teoreminden $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\geq |AC|^2+|BD|^2$$ elde edilir. Ptolemy teoreminden $$-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$$ olduğundan $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|\geq |AC|^2+|BD|^2-2|AC|\cdot|BD|$$ olur. Düzenlersek, $$(|AD| - |BC|)^2 + (|AB| - |DC|)^2 \geq (|AC| - |BD|)^2$$ elde edilir. Eşitlik durumu için $|EF|=0$ olmalıdır. Yani köşegenlerin kesişim noktası ayrıca köşegenlerin orta noktasıdır. Bu durumu sağlayan dörtgenler paralelkenardır. $ABCD$ kirişler dörtgeni olduğundan eşitlik durumu dikdörtgen olmalıdır.
Not: $-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$ olarak eşitsizliğe koymak yerine pozitif hallerini koysaydık $$(|AD| + |BC|)^2 + (|AB| + |DC|)^2 \geq (|AC| + |BD|)^2$$ elde edilirdi ve eşitlik durumu hala dikdörtgen olurdu.
