Dik Üçgen İçine Yerleşen Kareler

[ERhan ERdoğan]

• Tweet

Bir dik dik üçgeninin içerisine $K_{1}$ ve $K_{2}$ kareleri aşağıdaki biçimde çiziliyor.
$K_{1}$ karesi; bir kenarı hipotenüsün üzerinde, diğer iki köşesi dik kenarların üzerinde olacak biçimde, $K_{2}$ karesi ise iki kenarı dik kenarların üzerinde ve diğer köşesi hipotenüsün üzerinde olacak biçimde çiziliyor.
Buna göre, $K_{1}$ karesinin alanının $K_{2}$ karesinin alanından küçük olduğunu gösteriniz.

[BilgeSekni]

• Tweet

Dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarına a br ve b br diyelim. Hipotenüs uzunluğuna da c diyelim. Hipotenüse inen yükseklik ise h olsun.
K₁'in alanının K₂'nin alanından küçük olması, K₁'in bir kenarının K₂'nin bir kenarından daha kısa olmasına bağlıdır.
K₁'in bir kenarı: ch/(c+h)
K₂'nin bir kenarı: ab/(a+b)
O halde,  ab/(a+b) >  ch/(c+h) eşitsizliğini doğrularsak ispat biter.
ab/2 ve ch/2 değerlerinin dik üçgenin alanını verdiğini göz önüne alırsak, ab=ch bulunur. Böylece kanıtlamamız gereken eşitsizlik, 1/(a+b) >  1/(c+h)  olur.
Düzenlersek, (c+h) > (a+b) olur.
a,b,c,h birer uzunluk olduğu için pozitif değer alırlar ve toplamları da pozitif olacağından dolayı her iki tarafın karesini almamız eşitsizliği bozmaz.
c²+h²+2ch > a²+b²+2ab
Pisagor teoreminden a²+b²=c² yazalım ve ab=ch eşitliğini tekrar kullanalım:
c²+h²+2ch > c²+2ch
Eşitsizliği düzenlersek, h² > 0 olur ki, bir uzunluk daima 0'dan büyük olacağı için eşitsizliği doğrulamış oluruz kanıt biter.