Gönderen Konu: Fonksiyonel Denklem - 2009 Antalya 2009 1. Aşama Sınavı'dan  (Okunma sayısı 103 defa)

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3080
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Soru: $f: \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonu her $x, y \in \mathbb Z$ için
$$ f(f(x)+y) -f(y+7) = x $$
eşitliğini ve $f(2)=5$ koşullarını sağlasın. Bu durumda, $f(11)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ -4 \qquad\textbf{b)}\ -3  \qquad\textbf{c)}\ -2 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 7 $



Not: Aslında, $f(11)$ değerinin herhangi bir çift tam sayıya eşit olabileceğini düşünüyorum. Çözümü incelerken, herhangi bir adımda hata yapıyor olabileceğimi düşünerek irdelemenizde fayda var. Yanlış yaptığım kısım varsa, belirtirseniz sevinirim. Çözüme geçelim:


Çözüm (Lokman GÖKÇE):
$$ f(f(x)+y) -f(y+7) = x \tag{1}$$
ana denkleminde $y=0$ koyarsak her $x \in \mathbb Z$ için $$ f(f(x))=x+f(7) \tag{2}$$ olur. Bu eşitlik bize $f$ fonksiyonunun bire bir olduğunu gösterir. İki keyfi $x_1 \neq x_2$ tam sayısı alıp $(2)$ denkleminde yazarsak $ f(f(x_1)) = x_1 + f(7)$ ve $ f(f(x_2)) = x_2 + f(7)$ olur. Buradan $ f(f(x_1)) \neq f(f(x_2))$ olup $f(x_1)\neq f(x_2)$ elde edilir. Yani $f$ bire bir fonksiyondur.

$(1)$ denkleminde $x=2$ yazılırsa $f(2)=5$ verildiğinden her $y$ tam sayısı için $f(y+5)-f(y+7)=2$ olur. Bu ifadeyi basitleştirmek için $y+5$ yerine $y$ yazalım. Her $y$ tam sayısı için
$$ f(y) - f(y+2) = 2 \tag{3}$$
denklemi elde edilir. $f(2)=5$ bilgisini $(3)$ denkleminde kullanılarak $f$ fonksiyonunun çift tam sayı noktalardaki görüntülerini hesaplayabiliriz. $f(4)=3$, $f(6)=1$, $ f( 8 ) =-1$, $f(10)=-3$, $f(12)=-5$ ... gibi. Çift sayı noktalar ile tüm tek sayı görüntüleri elde edebiliyoruz. Buna göre, $f$ bire bir fonksiyon olduğundan tek sayı noktalar ile de yalnızca çift sayı görüntüler elde edebilmeliyiz. Ayrıca $(3)$ denklemine göre, $f$ fonksiyonu çift tam sayılar kümesinde azalan bir fonksiyondur. Yine, $f$ fonksiyonu tek tam sayılar kümesinde de azalan bir fonksiyondur. Bu bilgi, $f$ fonksiyonunun tüm tam sayılar kümesinde azalan olduğunu göstermez.


Dolayısıyla $y$ herhangi bir çift tam sayı iken $f(y)=-y+7$ olduğunu kolayca gösterebiliriz. Buna eşdeğer olarak, $y$ herhangi bir tam sayı iken
$$ f(2y) = -2y +7 \tag{4}$$
denklemini de yazabiliriz. Fakat herhangi bir tek sayı noktada $f$ nin görüntüsünün hangi çift sayı olduğunu bilmiyoruz. Bu yüzden  $c$ bir keyfi tam sayı olmak üzere $f(1)=2c$ diyelim. $(3)$ denklemine göre, her $y$ tam sayısı için
$$ f(2y+1) = -2y +2c \tag{5}$$
olur. Örneğin $f(1)=2c=10$ alınırsa $f(3)=8$, $f(5)=6$, $f(7)=4$, $f(9)=2$, $f(11)=0$, ... şeklinde değerler alır.

Şimdi $2x$, $2y$ iki çift tam sayı olsun. Bunları $(1)$ ana denkleminde yazarak $(5)$ denklemindeki $c$ nin gerçekten keyfi olarak seçilebileceğini görelim.

         $f(f(2x) + 2y) - f(2y+7) = 2x$
$ \implies f(-2x+7 +2y) - f(2y+7) = 2x$
$ \implies (2x - 2y -6 +2c) - (-2y-6+2c) = 2x$
$\implies 2x = 2x $

olur. Yani $(1)$ ana denkleminin genel çözümü, çift tam sayılarda $(4)$ ve tek tam sayılarda $(5)$ yardımı ile tanımlanan $f$ parçalı fonksiyonudur.
« Son Düzenleme: Kasım 21, 2020, 08:24:29 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 352
  • Karma: +7/-0
Ynt: Fonksiyonel Denklem - 2009 Antalya 2009 1. Aşama Sınavı'dan
« Yanıtla #1 : Kasım 22, 2020, 12:29:40 öö »
Hocam, bulduğunuz eşitliklerde bir sorun yok ama sağlama kısmında eksik incelemiş olabilirsiniz, $x$'in tek, $y$'nin çift olduğu durumu ele alırsak, $x=2m+1$, $y=2n$ için $$f(f(2m+1)+2n)-f(2n+7)=2m+1$$ olur. Sizin bulduğunuz eşitlikleri kullanacağım yani $f(2y)=-2y+7$ ve $f(2y+1)=-2y+2c$ olduğunu kullanacağım. $f(2m+1)=-2m+2c$ ve $f(2n+7)=f(2(n+3)+1)=-2(n+3)+2c=-2n-6+2c$ olur, $$f(2n-2m+2c)+2n+6-2c=2m+1$$ olur. $f(2n-2m+2c)=-2n+2m-2c+7$ olduğundan $$-2n+2m-2c+7+2n+6-2c=2m+1\Rightarrow c=3$$ bulunur. Yani fonksiyonda $f(2y+1)=-2y+6$ olur. Parçalı olan fonksiyonu birleştirebiliriz, $f(x)=7-x$ olur. Sorunun istediğine dönersek $f(11)=-4$ bulunur.

Umarım ben de hata yapmamışımdır  ;D
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3080
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Fonksiyonel Denklem - 2009 Antalya 2009 1. Aşama Sınavı'dan
« Yanıtla #2 : Kasım 22, 2020, 01:24:12 öö »
Teşekkürler Metin Can, yaptığın eklemeyi inceledim ve hata göremedim. Şimdi çözüm tamamlanmış oldu  :)
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal