Gönderen Konu: Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1  (Okunma sayısı 110 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1416
  • Karma: +12/-0
Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1
« : Kasım 06, 2020, 01:22:02 öö »
$ab+bc+ca=1$ ve $${a^2}b + c = {b^2}c + a = {c^2}a + b$$
koşullarını sağlayan tüm $(a, b, c)$ gerçel sayı üçlülerini bulunuz.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 352
  • Karma: +7/-0
Ynt: Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 1
« Yanıtla #1 : Kasım 06, 2020, 09:12:39 öö »
$a+b=0$ ise $ab+c(a+b)=ab=-b^2=1$ bulunur. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $a+b\neq 0$, benzer şekilde $a+c\neq 0$ ve $b+c\neq 0$ olmalıdır. $ab+ac+bc=1$ ifadesinde $c$'yi yalnız bırakırsak, $c=\dfrac{1-ab}{a+b}$ bulunur. Verilen eşitlikte yerine yazarsak, $$a^2b+\dfrac{1-ab}{a+b}=\dfrac{b^2-ab^3}{a+b}+a\Rightarrow \dfrac{a^3b+a^2b^2+1-ab}{a+b}=\dfrac{b^2-ab^3+a^2+ab}{a+b}\Rightarrow (ab-1)(a^2+ab+b^2-1)=0$$ olur. Benzer şekilde $(ac-1)(a^2+ac+c^2-1)=0$ ve $(bc-1)(a^2+ac+c^2-1)=0$ bulunur. Eğer $ab$, $ac$ ve $bc$ ifadelerinden herhangi biri $1$ ise (genelliği bozmadan $ab=1$ olsun.) $$ab+ac+bc=1+c(a+b)=1\Rightarrow c=0$$ bulunur. $c=0$'ı ana eşitlikte yerine yazarsak $a^2b=a=b$ buluruz. $ab=1$ olduğundan $(a,b)=(-1,-1)$ ve $(a,b)=(1,1)$ olabilir. Buradan $(a,b,c)=(1,1,0),(-1,-1,0)$ ve permütasyonları çözüm olarak bulunur.

Eğer  $ab$, $ac$ ve $bc$ ifadelerinden hiçbiri $1$ değil ise $a^2+ab+b^2=a^2+ac+c^2=b^2+bc+c^2=1$ olmalıdır. Buradan $$a^2+ab+b^2=a^2+ac+c^2\Rightarrow (a+b+c)(b-c)=0$$ elde edilir.

$i)$ $a+b+c=0$ ise $ab+c(a+b)=ab-c^2=1$ ve buradan $ab=c^2+1$ bulunur. Benzer şekilde $ac=b^2+1$ ve $bc=a^2+1$ elde edilir fakat bu üç eşitliği toplarsak $ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2+3=1$ bulunur ki buradan çelişki gelir.

$ii)$ $a+b+c\neq 0$ ise $b=c$ olmalıdır. Benzer şekilde $a=b$ elde edilecektir. $a=b=c$ olacağından $ab+ac+bc=3a^2=1$ olacaktır ve buradan $(a,b,c)=\left (\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ),\left (-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )$ bulunur.

Tüm çözümler, $(a,b,c)=(1,1,0),(-1,-1,0),\left (\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ),\left (-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )$ ve permütasyonlarıdır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal