Çemberde Kuvvet İle İlgili 3 Soru {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem 1. $\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ çemberleri $A, B$ noktalarında kesişsin. Çemberlerin bir ortak teğetinin çemberlere değdiği noktalar $C,D$ olsun. $AB$ doğrusunun, $[CD]$ doğru parçasını iki eş uzunluğa ayırdığını kanıtlayınız.


Problem 2. $C$ noktası, $[AB]$ çaplı yarı çember yayı üzerinde bir nokta olsun. $D$ de, $\stackrel \frown{AC}$ yayının orta noktası olsun. $D$ noktasının $BC$ doğrusu üzerindeki dik izdüşümü $E$ olsun. $AE$ ile yarı çemberin kesişimi $F$ ise, $BF$ doğrusunun $[DE]$ doğru parçasını iki eş uzunluğa ayırdığını kanıtlayınız.


Problem 3. $\Gamma$ çemberi üzerinden $|AB|=|BC|$ olacak şekilde $A,B,C$ noktaları alınıyor. $\Gamma$ çemberinin $A$ ve $B$ deki teğetleri $D$ noktasında kesişiyor. $DC$ ile $\Gamma$ çemberi tekrar $E$ noktasında kesişiyor. $AE$ doğrusunun $[BD]$ doğru parçasını iki eş uzunluğa ayırdığını kanıtlayınız.

[FEYZULLAH UÇAR]

Problem 1'in Çözümü:
$T$ noktasına göre kuvvet uygulanılırsa $$|CT|^2=|BT|\cdot|TA|\tag{1} $$ ve $$ |TD|^2=|BT|\cdot|TA|\tag{2}$$  olur. $(1)$ ve $(2)$ den $|CT|=|TD|$ olur.

[FEYZULLAH UÇAR]

Problem 2(Çözüm).
$D$ noktasının teğet olduğunu gösterirsek çözüm biter. $O$ çemberin merkezi olsun. $$m(\stackrel \frown{AB})=m(\stackrel \frown{DC})$$ olduğundan $$m(\widehat{ABD})=m(\widehat{OBC}) $$ olur.
$|OB|=|OD|$ olduğundan $$m(\widehat{OBD})=m(\widehat{ODB})$$ olur.
 Buradan $m(\widehat{EDB})+m(\widehat{EBD})=90^\circ$ olduğundan $[OD] \perp[DE]$ olur.
$m(\widehat{AFB})=90^\circ$ olur. (Çapı gören çevre açı $90^\circ$dır.)
Demek ki $[ED$ , $O$ merkezli çembere teğettir. $T$ noktasından kuvvet uygularsak  $$|TD|^2=|TF|\cdot|TB| \tag{1}$$
$\triangle{ETB}$ de Euclid uygularsak $$|ET|^2=|TF|\cdot|TB| \tag{2}$$   olur.
$(1)$ ve $(2)$ den  $|TD|=|ET|$ dır.

[FEYZULLAH UÇAR]

Problem 3 Çözüm: 
                                                               $|AB|=|BC|$ olduğundan $$ m(\stackrel\frown{AB})=m(\stackrel\frown{BC})$$ dir. $$ m(\widehat{TAB})= m(\widehat{BCD})=\alpha$$ (Aynı yayı gördüklerinden) $ m(\widehat{CBK})=\alpha+\beta$ olduğundan $$ m(\widehat{CDB})= m(\widehat{TAD})=\beta$$ olur. Buradan $\triangle{DTE}\sim\triangle{ATD}$  olur. O halde $$|DT|^2=|TE|\cdot|TA|\tag{1}$$ dir. Ayrıca  $B$ noktasından kuvvet uygularsak $$|BT|^2=|TE|\cdot|TA|\tag{2}$$ olur.
$(1)$ ve $(2)$ den $|DT|=TB|$ olur.