Gönderen Konu: $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d$ Denklemi {çözüldü}  (Okunma sayısı 210 defa)

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3080
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d$ Denklemi {çözüldü}
« : Ekim 14, 2020, 01:33:36 ös »
Problem: $a,b,c,d>0$ farklı rakamlar olmak üzere $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d$ olduğuna göre $d$ nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
« Son Düzenleme: Ekim 20, 2020, 02:56:43 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 352
  • Karma: +7/-0
Ynt: $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d$ Denklemi
« Yanıtla #1 : Ekim 19, 2020, 04:04:37 öö »
Verilen ifadeyi düzenleyelim, $$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=d\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ad+bd+cd$$ $$\Rightarrow (2a-d)^2+(2b-d)^2+(2c-d)^2=3d^2$$ $a,b,c,d$ birbirinden farklı olduğundan $2a-d$, $2b-d$, $2c-d$ ifadeleri de birbirinden farklıdır. Genelliği bozmadan $a>b>c$ olsun. $$a>d=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}>c$$ olduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla $d=1$ veya $d=9$ olamaz.

$i) d=2$ ise $(2a-2)^2+(2b-2)^2+(2c-2)^2=12$ olur, sadeleştirirsek $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=3$ olur fakat buradan $a>b>c$ çözümü gelmez.

$ii) d=3$ ise $(2a-3)^2+(2b-3)^2+(2c-3)^2=27$ olur. $(a,b,c)=(4,2,1)$ şartı sağlar.

$iii)$ $d=4$ ise $(2a-4)^2+(2b-4)^2+(2c-4)^2=48$ olur, sadeleştirirsek $(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2=12$ olur ama buradan $a>b>c$ çözümü gelmez.

$iv)$ $d=5$ ise $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)$ olacağından $a^2+b^2+c^2\equiv 0 \pmod{5}$ olur. $x^2\equiv 0,1,4\pmod{5}$ olduğundan $a$, $b$, $c$'den en az biri $5$ ile bölünmelidir fakat $5$ ile bölünebilen tek rakam $5$'dir ve bu rakamların farklı olması ile çelişir.

$v)$ $d=6$ ise $(2a-6)^2+(2b-6)^2+(2c-6)^2=108$ olur, sadeleştirirsek $(a-3)^2+(b-3)^2+(c-3)^2=27$ olur. Buradan $(a,b,c)=(8,4,2)$ çözümleri bulunabilir.

$vi)$ $d=7$ ise $(2a-7)^2+(2b-7)^2+(2c-7)^2=147$ bulunur. Buradan $(a,b,c)=(9,6,3)$ çözümü bulunabilir. (Denemeyi kolaylaştırmak için $a>d>c$ olduğu kullanılarak $a=9$ ve $a=8$ durumları incelenebilir.)

$vii)$ $d=8$ ise $(2a-8)^2+(2b-8)^2+(2c-8)^2=192$ olur, sadeleştirilirse $(a-4)^2+(b-4)^2+(c-4)^2=48$ olur. $a>d$ olduğundan $a=9$ olmalıdır. Buradan $(b-4)^2+(c-4)^2=23$ bulunur fakat iki tamkarenin toplamı $4$ modunda $3$ kalanı veremez. Dolayısıyla buradan da çözüm gelmez.

$d$'nin alabileceği tüm değerler $3$, $6$ ve $7$'dir. Bu değerlerin toplamı $16$'dır.

Not: Bu $d$ değerleri için tüm çözümleri bulmakla uğraşmadım sadece birer örnek buldum, tüm $(a,b,c,d)$'leri bulmak için durumlar tek tek denenebilir, uğraştırıcı olabilir ama tüm değerleri bulabiliriz bu şekilde.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal