Gönderen Konu: Üç Basamaklı Sayıların Öz Sayılar Toplamı {çözüldü}  (Okunma sayısı 167 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3056
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Soru, $2000$ Tübitak Ortaokul Matematik Olimpiyatı 1. Aşama Sınavı'ndan modifiyedir.


Soru: Bir pozitif tam sayının $9$ katının rakamları toplamına o sayının öz sayısı diyelim. Tüm üç basamaklı sayıların öz sayılarının toplamı kaçtır?



Not: Sonucu $16200$ olarak hesapladım. Çözüm göndermek isteyenler için katkılarını bekleriz. Kendi çözümümü de daha sonra ekleyeceğim.
« Son Düzenleme: Ekim 21, 2020, 05:42:30 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3056
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Üç Basamaklı Sayıların Öz Sayılar Toplamı
« Yanıtla #1 : Ekim 21, 2020, 05:40:39 ös »
$abc$ üç basamaklı sayısının öz sayısı, $9\cdot abc$ sayısının rakamlarının toplamıdır.

$9\cdot abc$ sayısı $9$'un katı olduğundan elde edilebilecek bütün öz sayılar yine $9$ un katıdır. Çünkü, bir pozitif tam sayının rakamları toplamı $\mod 9$ da invaryant kalır. $abc=999$ en büyük değeri için $9\cdot 999 =8991$ olup öz sayı $8+9+9+1=27$ dir. Dolayısıyla elde edilebilecek öz sayılar $\{ 9, 18, 27\}$ kümesinin bir elemanı olmalıdır.

Şimdi öz sayısı $27$ olan sayıları araştıralım. Bunun için $9\cdot abc$ sayısının rakamlarının toplamı $27$ olmalıdır.
$9\cdot abc \in \{ 999, 1899, 1989, 1998, 2799, \dots , 8991 \}$ dir. Bu kümedeki sayıların sayısını hesaplamak istiyoruz.

Üç basamaklı $999$ sayısı $1=\dbinom{2}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $1xyz$ sayıları için $x+y+z=26$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 1$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{3}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $2xyz$ sayıları için $x+y+z=25$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 2$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{4}{2}$ tanedir.

$\vdots $

Dört basamaklı $8xyz$ sayıları için $x+y+z=19$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 8$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{10}{2}$ tanedir.

Bu durumda toplam $\dbinom{2}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{4}{2}+\cdots +\dbinom{10}{2} = \dbinom{11}{3} = 165$ tane sayı vardır. Bu toplamı $$\sum_{n=2}^{10} n(n-1)/2 =165 $$ biçiminde de bulabiliriz.

Şimdi de öz sayısı $9$ olan üç basamaklı sayıların sayısını belirleyelim. $9\cdot abc$ sayısının rakamları toplamı $9$ olmalıdır. En küçük değer olarak $abc=100$ için $9\cdot abc = 900$ olur.
$9\cdot abc \in \{ 900, 1008, 1017, 1026, \dots , 8001 \}$ dir. Bu kümedeki sayıların sayısını hesaplamak istiyoruz.
Üç basamaklı $900$ sayısı $1=\dbinom{2}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $1xyz$ sayıları için $x+y+z=8$ olup $\dbinom{10}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $2xyz$ sayıları için $x+y+z=7$ olup $\dbinom{9}{2}$ tanedir.

$\vdots $

Dört basamaklı $8xyz$ sayıları için $x+y+z=1$ olup $\dbinom{3}{2}$ tanedir.

Bu durumda yine toplam $\dbinom{2}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{4}{2}+\cdots +\dbinom{10}{2} = \dbinom{11}{3} = 165$ tane sayı vardır.

Geriye öz sayısı $18$ olan üç basamaklı sayıların sayısını hesaplamak kaldı. Tüm üç basamaklı pozitif tam sayılar $900$ tane olduğundan öz sayısı $18$ olan $900 - 165 - 165 = 570$ tane sayı vardır.


Sonuç olarak, üç basamaklı pozitif tam sayıların öz sayılarının toplamı $165 \cdot 27 + 165 \cdot 9 +570 \cdot 18 = \boxed{16200} $ buunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal