Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 6

[Eray]

Aşağıdaki önermeyi doğru kılan pozitif bir $c$ sabiti bulunduğunu gösteriniz:
Düzlemde herhangi ikisinin arasındaki uzaklık en az $1$ olan $n > 1$ noktadan oluşan herhangi bir $\mathcal S$ kümesi alındığında, $\mathcal S$ kümesindeki her noktadan uzaklığı en az $cn^{-1/3}$ olan ve $\mathcal S$ deki noktaları ayıran bir $\ell$ doğrusu bulunur.
(Bir $\ell$ doğrusu, uçları $\mathcal S$ de olan en az bir doğru parçasını kesiyorsa $\ell$ doğrusu $\mathcal S$ deki noktaları ayırır.)

Not. Bir $\alpha > 1/3$ gerçel sayısı için, $cn^{-1/3}$ yerine $cn^{-\alpha}$ için elde edilen sonuçlara $\alpha$ nın değerine göre puan verilebilir.