Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 2

[Eray]

$a, b, c, d$ gerçel sayıları için $a \geq b \geq c \geq d>0$ ve $a+b+c+d=1$ sağlanmaktadır.
$$(a+2 b+3 c+4 d) a^{a} b^{b} c^{c} d^{d}<1$$ olduğunu gösteriniz.

[AtakanCİCEK]

Öncelikle soruda verilen $a^ab^bc^cd^d$ ifadesini Ağırlıklı aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğiyle düzenleyelim.

$$\dfrac{a.a+b.b+c.c+d.d}{a+b+c+d}\ge \sqrt[a+b+c+d]{a^a.b^b.c^c.d^d}$$ Buradan

$$a^2+b^2+c^2+d^2\ge a^a.b^b.c^c.d^d$$ bulunur. Verilen eşitsizliğin sol tarafını düzenleyelim

$$(a+2b+3c+4d).a^a.b^b.c^c.d^d \le (a+2b+3c+4d).(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$$ olduğunu göstermeliyiz.  Denklemi homojen yapmak için $1$ gördüğümüz yere $(a+b+c+d)^3$ yazalım

$$(a+2b+3c+4d).(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3$$olduğunu göstermeliyiz.

$\begin{array}{lcl}
(a+2b+3c+4d).(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)^3 &=& -a^2b+a^2d-2ab^2-6abc-6abd-2ac^2-6acd-2ad^2 \\ && + \ b^3  +b^2d-bc^2-6bcd-bd^2+2c^3+c^2d+3d^3\\
&<& 0 \end{array}$
elde edilir. Eşitsizliği düzenlersek:
$$a^2d+b^3+b^2d+2c^3+c^2d+3d^3<a^2b+2ab^2+6abc+6abd+2ac^2+6acd+2ad^2+bc^2+6bcd+bd^2$$ bulunur.  Aşağıdaki eşitsizlikleri $a\ge b\ge c \ge d >0$  verilişi yardımıyla gösterelim.

$a^2b\ge a^2d$

$ab^2\ge b^3$

$ab^2\ge b^2d$

$6abc>2c^3$

$2ac^2>c^2d$

$6bcd>3d^3$ olur ve sağ tarafta hala terim kalmaya devam ettiğinden bu eşitsizliklerin alt alta toplanmasını da dikkate alırsak

$$(a+2b+3c+4d).(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3$$ eşitsizliği ispatlanır ve ispat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Denklemi homojen yapmak için $1$ gördüğümüz yere $(a+b+c+d)^3$ yazalım.

$$(a+2b+3c+4d).(a^2+b^2+c^2+d^2)<(a+b+c+d)^3$$ olduğunu göstermeliyiz.


Aslında buradan sonra AoPS forumundan bir çözüm yapılabilir:

$$\begin{array}{lcl}
\left(a+b+c+d+b+2c+3d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right) &=& \left(a+b+c+d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right) \\ & & +\left(b+2c+3d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right) \\
&\leq &\left(a+b+c+d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sum_{sym}{ab}\right)
\end{array}$$
$$\Longrightarrow \left(b+2c+3d\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\leq \left(a+b+c+d\right)\left(2\sum_{sym}{ab}\right)$$

$\left(b+2c+3d\right)\left(a.a+b.b+c.c+d.d\right)\leq \left(b+2c+3d\right)\left(a.a+b.a+c.a+d.a\right)=\left(b+2c+3d\right)a\left(a+b+c+d\right)$ olduğundan aşağıdaki eşitsizliğin ispatı soruyu tamamlayacaktır.
$\left(b+2c+3d\right)a\left(a+b+c+d\right)< \left(a+b+c+d\right)\left(2\sum_{sym}{ab}\right)$

$\Longrightarrow ab+2ac+3ad< 2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)$

$\Longrightarrow ad< ab+2\left(bc+bd+cd\right)$

Bu ifade ise $b\geq d$ olması sonucu doğrudur. İspat biter.
Eşitsizliğin zayıf olmasına rağmen güçlendirilebileceğini düşünüyorum.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş IMO 2020 #2