Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 09

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $s (\widehat{BAD} )=s(\widehat{EDC})$, $s(\widehat{DAC} )=s(\widehat{ACD})$, $|BD|=2$, $|AE|=3$ ve $|CD|=4$ ise, $|EC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$B$ noktasından geçen ve $DE$ doğrusuna paralel olan doğru $AD$'yi $Y$'de ve $AC$'yi $X$'de kessin. $s(\widehat{XBC})=s (\widehat{BAD})=s(\widehat{EDC})$ olacaktır. $YBD$ ile $BAD$ üçgeni açıları eş olduğundan benzer olacaktır. Ayrıcas $s (\widehat{DAC})=s(\widehat{ACD})$ olduğundan $|AD|=4$ olacaktır. Benzerlikten $$\dfrac{|YD|}{|BD|}=\dfrac{|BD|}{|AD|}\Rightarrow |YD|=\dfrac{|BD|^2}{|AD|}=1$$ bulunur. Dolayısıyla $|AY|=3$ olacaktır. $YX$ ile $DE$ paralel olduğundan $\dfrac{|AE|}{|XE|}=4$ olmalıdır. Buradan da $|XE|=\dfrac{3}{4}$ bulunur. Ayrıca $\dfrac{|EC|}{|XE|}=\dfrac{|DC|}{|BD|}$ olacağından $|EC|= \dfrac{3}{2}$ bulunur.

[geo]

$\angle DAC = \angle ACD$ olduğu için $AD = DC = 4$.
$\angle BAD = \angle EDC$ olduğu için $\angle ABD = \angle ADE$. Bu durumda $\triangle ABC \sim \triangle EDA\quad (A.A)$. $BC/DA = AC/EA \Rightarrow AC = 9/2$ ve $EC=3/2$.