Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 07

[Metin Can Aydemir]

Aslı, yeni bir test kitabı aldıktan sonra ilk gün bu kitaptaki soruların bir tanesini, ikinci gün kalan soruların dörtte birini, üçüncü gün kalan soruların bir tanesini, dördüncü gün ise kalan soruların dörtte birini çözmüştür. Son durumda bu kitaptaki çözülmemiş soru sayısı $30$ ile $50$ arasında olduğuna göre, bu kitaptaki toplam soru sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 104 \qquad\textbf{b)}\ 112 \qquad\textbf{c)}\ 118 \qquad\textbf{d)}\ 126 \qquad\textbf{e)}\ 138$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Test kitabının toplam soru sayısı $x$ olsun. $1.$ gün sonunda $x-1$ soru kalır. $2.$ gün sonunda $\dfrac{3(x-1)}{4}$ soru kalır. $3.$ gün sonunda $\dfrac{3(x-1)}{4}-1=\dfrac{3x-7}{4}$ soru kalır. $4.$ gün sonunda ise $\dfrac{3(3x-7)}{16}$ soru kalır. Yani $$30<\dfrac{9x-21}{16}<50\Longrightarrow \dfrac{167}{3}<x<\dfrac{821}{9}\Longrightarrow 56 \leq x \leq 91$$ elde edilir fakat şunu unutmamalıyız ki $\dfrac{3x-3}{4}$ ve $\dfrac{9x-21}{16}$ sayıları tamsayı olmalıdır. Yani $$3x-3\equiv 0\pmod{4}\Rightarrow x\equiv 1\pmod{4}$$ $$9x-21\equiv 0\pmod{16}\Rightarrow x\equiv 13\pmod{16}$$ Durumlar birbirini kapsadığı için $x\equiv 13\pmod{16}$ olması yeterlidir. Yukarıdaki aralıkta bu şartı sağlayan $x$ değerleri $61$ ve $77$'dir. $61+77=\boxed{138}$