Gönderen Konu: Tam Değer Fonksiyonu Eşitliği  (Okunma sayısı 91 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 309
  • Karma: +7/-0
Tam Değer Fonksiyonu Eşitliği
« : Eylül 11, 2020, 02:26:05 öö »
$f(x)$ ve $g(x)$ reel sayılarda tanımlı sürekli fonksiyonlar olsun. $\left \lfloor x \right \rfloor$, tamdeğer fonksiyonu olmak üzere, $$\left \lfloor f(x) \right \rfloor =\left \lfloor g(x) \right \rfloor$$ eşitliği her $x$ reel sayısı için sağlanıyor.

$a)$ $f$ ve $g$ fonksiyonları birer polinom ise ya birbirlerine eşit ya da sabit fonksiyonlar olduğunu gösteriniz.

$b)$ Eşitliği sağlayan, birbirine eşit olmayan ve sabit olmayan $f$ ve $g$ fonksiyonları var mıdır, eğer varsa örnek gösteriniz yoksa ispatlayınız. (Metin Aydemir)
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2020, 02:28:37 öö Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 309
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tam Değer Fonksiyonu Eşitliği
« Yanıtla #1 : Eylül 15, 2020, 04:27:47 öö »
$a)$ $\left \lfloor f(x) \right \rfloor=\left \lfloor g(x) \right \rfloor =m$ ise $$m\leq f(x)<m+1$$ $$m\leq g(x)<m+1$$ olur. İkinci denklemi $-1$ ile çarpıp toplarsak $$-1<f(x)-g(x)<1$$ elde edilir. $f(x)-g(x)=h(x)$ dersek $$-1<h(x)<1$$ olur. $f(x)$ ve $g(x)$ polinom olduğundan $h(x)$ de polinomdur. Eğer $h(x)$, sabit polinom değilse $x$ sonsuza giderken $h(x)$ polinomu da artı sonsuza veya eksi sonsuza gidecektir, yani polinom $(-1,1)$ aralığından çıkacaktır. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $h(x)$ polinomu sabit polinomdur. $h(x)=c$ diyelim. $f(x)=g(x)+c$ olmalıdır. Her $x$ için $$\left \lfloor g(x) \right \rfloor=\left \lfloor g(x)+c \right \rfloor$$ olmalıdır. Eğer $g(x)$ sabitse $g(x)=c_1$ için $\left \lfloor c_1 \right \rfloor=\left \lfloor c_1+c \right \rfloor$ olmalıdır. Bunu sağlayan sonsuz $c$ ve $c_1$ sabit sayıları bulabiliriz. (Örneğin, herhangi bir $r$ pozitif tamsayısı için $(c,c_1)=(r,0.1)$ sağlar.)

Eğer $g(x)$ sabit polinom değilse, $c=0$ için $f(x)=g(x)$ olacaktır. Bunun da şartı sağladığı barizdir.

$c\neq 0$ için $g(x)$ polinomunda $x$ sonsuza giderken polinom ya artı sonsuza ya da eksi sonsuza gidecektir. Eğer artı sonsuza gidiyorsa öyle bir $N$ reel sayısı vardır ki $M\geq N$ olan her $M$ reel sayısı için $g(x)=M$ denkleminin en az bir çözümü vardır. Benzer şekilde eğer polinom eksi sonsuza giderse öyle bir $N$ vardır ki $N\geq M$ olan her $M$ reel sayısı için $g(x)=M$ denkleminin en az bir çözümü vardır. Dolayısıyla öyle bir $a$ tamsayısı vardır ki $g(x_0)=a-\dfrac{c}{2}$ olacak şekilde bir $x_0$ reel sayısı vardır. Ana eşitlikte $x=x_0$ için $$\left \lfloor g(x_0) \right \rfloor=\left \lfloor g(x_0)+c \right \rfloor \Rightarrow \left \lfloor a-\dfrac{c}{2} \right \rfloor=\left \lfloor a+\dfrac{c}{2} \right \rfloor$$ olur fakat $-1<c<1$ ve $a$ tamsayı olduğundan $a-\dfrac{c}{2}$ ve $ a+\dfrac{c}{2}$ ifadeleri $(a-1,a)$ ve $(a,a+1)$ aralığındadırlar. Yani tamdeğerleri birbirine eşit olamaz. Çelişki. Dolayısıyla $f(x)$ ve $g(x)$ polinomları ya birbirlerine eşittir ya da sabit polinomlardır.


$b)$ Eğer $f$ ve $g$ polinom değilse bu fonksiyonların görüntü kümesini istediğimiz aralıkta olacak şekilde fonksiyonları seçebiliriz. Örneğin görüntü kümesi, $(0,1)$ aralığının alt kümesi olan $f$ ve $g$ fonksiyonları seçelim. $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2}$ ve $g(x)=\dfrac{1}{x^2+3}$ seçersek $f$ ve $g$ fonksiyonlarının görüntü kümesi $(0,1)$ kümesinin alt kümesi olacaktır. Dolayısıyla $$\left \lfloor f(x) \right \rfloor=\left \lfloor g(x) \right \rfloor=0$$ olur.
« Son Düzenleme: Eylül 15, 2020, 04:31:34 öö Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal