Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 02

[Metin Can Aydemir]

$n$ iki basamaklı pozitif tam sayısının ondalık yazılımı $AB$ olmak üzere, $1,2,\dots,n$ sayılarının basamak sayılarının toplamının ondalık yazılımı $BA$ ise, $A+B$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 11$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$1,2,\dots, n$ sayılarının basamak sayılarının toplamını hesaplayalım, $1,2,\dots, 9$ sayılarının $1$ basamağı varken $10,11,\dots, n$ sayılarının $2$ basamağı vardır. $n-9$ tane sayının 2 basamağı olduğundan toplamda $9+2(n-9)=2n-9$ basamak vardır. $n=AB=10A+B$ ve $BA=10B+A$ yazarsak, $$20A+2B-9=10B+A\Rightarrow 19A=8B+9$$ elde edilir. $19$ modunda incelersek $$8B+9\equiv 0 \pmod{19}\Rightarrow 8B\equiv 10 \pmod{19}\Rightarrow 4B\equiv 5 \pmod{19}\Rightarrow 4B\equiv 24 \pmod{19}$$ $$\Rightarrow B\equiv 6 \pmod{19}\Rightarrow B=6$$ bulunur. Yerine yazarsak $A=3$ bulunur. $\boxed{A+B=9}$ elde ederiz.