Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 32

[Uygar ÖZTÜRK]

$12 \times 12$ bir satranç tahtasının $71$ birim karesi işaretlenecektir. Bu işlem, ortak bir kenar paylaşan işaretli iki birim kare bulunmayacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 132 \qquad\textbf{b)}\ 136 \qquad\textbf{c)}\ 140 \qquad\textbf{d)}\ 144 \qquad\textbf{e)}\ 148$

[idensu]

kareler bir siyah bir beyaz olsun.(satranç tahtasındaki gibi) ya 72 siyah kareden 71'ini ya da 72 beyaz kareden birini işaretleyelim. Buradan 72+72=144 değişik işaretleme gerçekleşir. Diğer yandan ilk satırda SBSBSBSBSBSB ilk 5 S işaretlenmiş olsun. Kalan BSB den son iki taneden birini işaretleyebiliriz. Bunlardan  B'yi işaretlersek aşağıda kalan tüm satırlar için tek seçenekle kalan işaretlemeler yapılabilir. İşaretlenen bu durumu her seferinde 90 derece döndürürsek 4 tane daha farklı durum ortaya çıkar ki aranan yanıt 144+4=148 olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Cevap: $148$.

Satranç tahtasını $36$ tane $2 \times 2$ kareye bölelim. Bu $2 \times 2$ karelerin $35$ tanesinde iki birim kare, $1$ tanesinde ise bir birim kare işaretlenecektir. İki işaretli birim kare içerecek $2 \times 2$ karelere normal, bir adet işaretli birim kare içerecek $2 \times 2$ kareye ise özel kare diyelim. Normal karelerin herhangi birinde işaretli birim karelerin seçimi kalan bütün normal karelerdeki işaretli birim kare seçimlerini tek türlü belirliyor. Normal karelerde sağ üstteki ve sol alttaki birim karelerin işaretlediğini varsayalım. Geriye kalan özel karedeki işaretlenecek birim kare, özel kare sol üst ve sağ alt köşede ise $3$, değilse $2$ farklı biçimde seçilebilir. Buna göre, toplamda $2 \cdot(34 \cdot 2+2 \cdot 3)=148$ farklı işaretleme yapılabilir.

Kaynak: Tübitak 28. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2020