Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 31

[Uygar ÖZTÜRK]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $x^{2}-2 y^{2}=\displaystyle{\frac{3}{8}}$ ise, $x^{4}-y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \displaystyle{-\frac{1}{4}} \qquad\textbf{b)}\ \displaystyle{-\frac{1}{8}} \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ \displaystyle{\frac{1}{8}} \qquad\textbf{e)}\ \displaystyle{\frac{1}{4}}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$x^2=2y^2+\dfrac{3}{8}$ ifadesinin karesini alalım ve istenilen ifadede yerine yazalım, $$x^4=\left (2y^2+\dfrac{3}{8}\right )^2\Rightarrow x^4-y=\left (2y^2+\dfrac{3}{8}\right )^2-y=4y^4+\dfrac{3y^2}{2}-y+\dfrac{9}{64}$$ olur. $f(y)=4y^4+\dfrac{3y^2}{2}-y+\dfrac{9}{64}$ fonksiyonu tanımlayalım. $$f^\prime(y)=16y^3+3y-1=(4y-1)(4y^2+y+1)$$ buluruz. $f^\prime(y)=0$ denkleminin tek çözümü $y=\dfrac{1}{4}$'dür. $y\geq\dfrac{1}{4}$ için $f^\prime(y)\geq 0$ ve $y\leq\dfrac{1}{4}$ için $f^\prime(y)\leq 0$ olur yani $y=\dfrac{1}{4}$ yerel minimumdur. $f$ fonksiyonu en küçük değerini $y=\dfrac{1}{4}$ için alır. $$f\left (\dfrac{1}{4}\right )=0$$ olduğundan minimum değer $\boxed{0}$ bulunur. Eşitlik durumu $(x,y)=\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{4}\right )$ değerlerinde sağlanır.