Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 29

[Uygar ÖZTÜRK]

Uzayda bir $D$ düzlemi üzerinde çakışık veya doğrusal olmayan $A, B$ ve $C$ noktaları alınıyor. Bu üç noktadan geçen $O$ merkezli bir küre üzerindeki $P$ ve $Q$ noktaları için $|P A|=|P B|=|P C|=30$ ve $|Q A|=|Q B|=|Q C|=40$ ise, $O$ noktasinin $D$ düzlemine uzaklığı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Kürenin yarıçapını $R$ ile gösterelim. $O$ noktasından $ABC$ üçgeninin düzlemine inilen dikme ayağı $N$ olsun. $|ON|=x$ uzunluğunu bulmalıyız. ($ABC$ üçgeni çeşitkenar olabilir, eşkenar olmak zorunda değildir). $N$ noktasının, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu kanıtlayalım:

$|AN|^2=|AO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$, $|BN|^2=|BO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$, $|CN|^2=|CO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$ olduğundan $|AN|=|BN|=|CN|=a$ dır. Yani  $N$ noktası, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.

$ON$ doğrusunun küreyi kestiği noktalar, problemde ifade edilen $P$ ve $Q$ noktalarıdır. $|PA|^2=|PN|^2+|AN|^2$ ve $|QA|^2=|QN|^2+|AN|^2$ olduğundan $|PN|<|QN|$ dir. Bu eşitlikleri

$$ a^2 + (R-x)^2 = 30^2  $$
$$ a^2 + (R+x)^2 = 40^2 $$

olarak ifade edebiliriz. Taraf tarafa toplayarak ve çıkararak

$$ 2(a^2+R^2+x^2) =50^2 \tag{1}$$
$$ 4Rx = 700\tag{2}  $$
 eşitliklerine ulaşırız. Ayrıca $ONC$ dik üçgeninde

$$ R^2 = x^2 + a^2 \tag{3} $$

olup $(1)$ ve $(3)$ ten $R=25$ bulunur. Bu değeri $(2)$ de yazarsak $x=7$ elde edilir.


Not: $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı da $a=24$ olur.

[Lokman Gökçe]

Kürede çapı gören çevre açıdan dolayı $m(\widehat{PBQ})=90^\circ$ dir. $PBQ$, $3k-4k-5k$ özel dik üçgeni olduğundan $|PQ|=2R = 50$ dir. Böylece kürenin yarıçapı $R=25$ tir. Yine $PBQ$ dik üçgeninde Öklid'in dik kenar bağıntısı uygulanırsa $|PB|^2 = |PN|\cdot |PQ| \implies 30^2 = 50\cdot |PN|$ dir. $|PN|=18$ olup $|ON|=25-18 = 7$ elde edilir.