Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 28  (Okunma sayısı 523 defa)

Çevrimdışı Uygar ÖZTÜRK

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 35
  • Karma: +0/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 28
« : Eylül 06, 2020, 10:35:45 öö »
Her birinin uzunluğu 1 olan $n$ tane kapalı doğru parçasının bileşimi $[0,28]$ doğru parçasına eşittir. Bu doğru parçalarının her birinde, diğer $n-1$ doğru parçasının hiçbirinde bulunmayan en az bir nokta varsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 34  \qquad\textbf{c)}\ 41 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 54$
« Son Düzenleme: Eylül 06, 2020, 02:06:58 ös Gönderen: metonster »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3098
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 28
« Yanıtla #1 : Eylül 09, 2020, 06:25:33 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

$n=54$ durumuna örnek verelim. $\left [ 0,1 \right ], \left [ \dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{4}\right ], \left [1,2 \right ], \left [ 1\dfrac{1}{4}, 2\dfrac{1}{4}\right ], \left [ 2,3\right ], \dots , \left [ 25, 26\right ], \left [ 25\dfrac{1}{4}, 26\dfrac{1}{4}\right ], \left [ 26,27\right ], \left [ 26\dfrac{3}{4}, 27\dfrac{3}{4}\right ], \left [ 27,28\right ]$ aralıkları istenen özelliktedir.

Seçeneklerde $54$ ten daha büyük bir değer olmadığı için bu örnek şimdilik yeterlidir. $n>54$ olamayacağının ispatını bulursak çözüme ekleyelim.


Not: Bu verdiğimiz örneğe göre genel olarak, $[0,m]$ aralığı için istenen özellikte $2(m-1)$ tane doğru parçasının seçilebileceği görülmektedir. ($m>2$ bir tam sayı).
« Son Düzenleme: Eylül 09, 2020, 07:21:07 ös Gönderen: metonster »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Kerem123

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 12
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 28
« Yanıtla #2 : Ocak 22, 2021, 02:53:25 ös »
En çok aralık sayısını bulmak için isteneni sağlamayacak en uç durum düşünülmelidir. Bu durum söyle bulunabilir: 0<n<1 olacak şekilde bir sayı seçeriz. Bu sayıyı bu aralıkta seçme sebebimiz en çok dediğinden dolayı istenenin olmayacağı en çok aralık sayısını bulmaktır. İlk başta 0dan itibaren başlayan aralıklar bulunmalıdır. [0,1],[1,2],...,[27,28] bunlar bu aralıklardır. Şimdi belirlediğimiz n sayısından ki aralıları yazalım. [n,n+1],[n+1,n+2],...,[n+26,n+27] bu aralıklardır. Şuan toplam 55 aralık var fakat bu isteneni vermez çünkü yazdığımız aralıklardan en son ve en baştaki aralık dışındaki her aralık birbirinin içinde bulunur. Yani en son ve en baştaki aralıklar dışındaki herhangi bir aralığı seçersek diğer aralıklarda bulunmayıp kendisinde bulunan en az 1 nokta yoktur bu durumda istenen sağlanmaz. 55 den daha fazla yazamayız çünkü aralıkların uzunlukları 1dir. İsteneni elde etmek için en sondaki aralık çıkarılıp geriye kalan aralıklar aralarındaki fark 1-n/27 den küçük olacak şekilde kaydırırsak istenen aralık oluşur. Lokman hocamızın verdiği örnekle bunun sağlanabileceğini görebiliriz.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal