Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 27

[Uygar ÖZTÜRK]

$x^{2}-x+1=y^{3}$ ve $y^{2}-y=x^{3}$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{A}$

denklemleri $x=-1$ için çözülemediğini görelim ardından ilk denklemi $x+1$ ile çarpalım. aynı zamanda $y=0$ için çözüm olmadığını da görelim.

$x^3=y^3.(x+1)-1$ bulunur.   $2$. denklemde yerine koyup $x$ i yalnız bırakırsak

$x=\dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}$ olur bunu 1. demklemde yerine koyalım

$\left ( \dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}\right )^2-\left (\dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}\right )+1=y^3$ düzenlersek.

$y^9-3y^6+3y^5-4y^4+5y^3-3y^2+2y-1=0$ bulunur.
 
Çarpanlarına ayırırsak ;

$(y-1).(y^8+y^7+y^6-2y^5+y^4-3y^3+2y^2-y+1)=0$ olur.  $y\not =1$ için Aşağıdaki reel sayılardan reel sayılara $P(x)$ polinomunu tanımlayalım ve daima pozitif olduğunu ispatlayalım.

$P(x)=x^8+x^7+x^6-2x^5+x^4-3x^3+2x^2-x+1$ olsun. Türev yardımıyla işaret tablosu yapılırsa  global minimumunun olacağı görülür. Bu sayı $m$ reel sayısı olsun.

$P(m)=m^8+m^7+m^6-2m^5+m^4+3m^3+2m^2-m+1=a$

$P'(m)=8m^7+7m^6+6m^5-10m^4+4m^3-9m^2+4m-1=0$

$8P(m)-P'(m)=8a=8m^8+m^7+m^6-22m^5+18m^4-28m^3+25m^2-12m+9=8a$ olur.

$1)$    $25m^2-28m^3>0$ 

$2)$    $18m^4-22m^5>0$

$3)$    $8m^8+m^7+m^6-12m+9>0$ olduklarını göstermeliyiz.


İlk olarak $3)$ ü ispatlayalım.
Reel sayılardan reel sayılara

$Q(x)=8x^8+x^7+x^6-12x+9$ polinomunun daima pozitif olduğunu gösterelim.

$Q'(x)=64x^7+7x^6+6x^5-12$  olur.

$R(x)=8Q(x)-xQ'(x)$ olarak tanımlayalım.

$Q'(x)=0$ yapan tek değer vardır o da $Q(x)$ i global  minimum yapan değerdir. (Türev ile ispatlanabilir.) Bu değer $n$ olsun. $Q(n)=b$ ise

$8Q(n)-nQ'(n)=n^7+2n^6-84n+72=8b$ olur.   

$R(x)$ fonksiyonu $0<x<1$ için azalandır. çünkü $R'(x)=7x^6+12x^5-84$  olur ve $7x^6+12x^5$ daima artan olduğundan  $0<x\le1$ için $R'(x)\le R'(1)<0$ bulunur. O halde   

$R'(0,7)$ ve $R'(0,8)$ in yaklaşık değerlerinin hesaplanmasından yardım alarak $0,7<n<0,8$ elde edilebilir.  $R(0,8)>0$ ise

$R(n)=8b>0$ yani $b>0$ olur $Q$ polinomunun daima pozitif olduğu gösterilmiş olur.

$R(0,8)=22,3340032$ olduğundan  ispat biter.

$1)$ ve $2$ eşitlikleri sadeleştirilir ve incelenirse $m<0,81$ olmasının gerektiğini göstermenin ispatı bitireceği görülür.

$P'(0,81)=0,055>0$ , $P'(0,8)=-0,129<0$ olur. o halde $0,8<m<0,81$ olur. İspat biter.

Bu ispatlanan 3 eşitsizlik yardımıyla $8P(m)-P'(m)=8a=8m^8+m^7+m^6-22m^5+18m^4-28m^3+25m^2-12m+9>0 $ bulunur. $a>0$ yani $P$ polinomunun minimum değeri pozitif olur. Buna göre $P(y)=0$ denkleminin çözüm kümesi boş küme olmalıdır.

$y=1$ çözümü bulunduğuna göre $2.$ eşitlikte yerine koyalım.

$y^2-y=1^2-1=x^3=0$ ise $x=0$ olunur ve bu $1.$ eşitliği de sağlar.

$(0,1)$ tek çözümü olur.

[AtakanCİCEK]

$x\not = 0$ ve $y\not = 0$  için $y=xt$ , $t \in R$ reel sayısı vardır.

$x^2-x+1=x^3t^3$

$x^2t^2-xt=x^3$  olur.

2. eşitlik düzenlenirse $t.(xt-1)=x^2$ yani $xt-1=\dfrac{x^2}{t}$ olsun.

1. eşitlikte düzenlemeler yapalım.

$x^2-x=x^3t^3-1=(xt-1).((xt-1)^2+3xt)$

$x^2-x=\dfrac{x^2}{t}.(\dfrac{x^4}{t^2}+3xt)$

$x^2t^3-xt^3=x^6+3x^3t^3$  buradan

$t^3=\dfrac{x^6}{-3x^3+x^2-x}$

1. eşitlikte bunu yerine koyarsak

$(x^2-x+1).(-3x^3+x^2-x)=x^9$ her iki taraf $x\not = 0$ kabulunden dolayı $x$ e bölünürse

$(x^2-x+1).(-3x^2+x-1)=x^8$ eşitliğin sağ tarafı pozitif fakat sol tarafı daima negatif olacağından dolayı çelişki elde edilir.

Diskriminant negatifse  $2.$ derece polinomların başkatsayısı pozitif olup olmadığını belirler.

$1.$ çarpan    $\triangle_1=(-1)^2-4.(1).(1)=-3<0$ olur. Daima pozitiftir.

$2.$ çarpan    $\triangle_2=1^2-4.(-3).(-1)=-11<0$ olur. Daima negatiftir.

O halde çelişki ispatlanır.  $x=0$ olmalıdır veya $y=0$ olmalıdır.

$a)$ $x=0$ için $0^2-0+1=y^3$ buradan $y=1$ elde edilir. $2.$ eşitliği de sağladığı görülür.

$b)$ $y=0$ için $0^2-0=x^3$  buradan $x=0$ gelir  ancak 1. eşitliği $(0,0)$ sağlamaz.

Buradan tek çözüm $(0,1)$ olarak bulunur.

[Metin Can Aydemir]

$x^2-x+1$ ifadesini tamkare yaparsak $$4x^2-4x+4=(2x-1)^2+3=4y^3>0 \Rightarrow y>0$$ bulunur. $y=1$ için $(x,y)=(0,1)$ çözümü geldiği görülebilir.

$1>y>0$ ise $$x^3=y^2-y=y(y-1)<0 \Rightarrow x<0$$ bulunur. $$x^2-x+1=y^3<1 \Rightarrow x(x-1)<0$$ bulunur. $x<0$ olduğundan $x-1<-1<0$'dır. Dolayısıyla çarpımları pozitif olmalıdır. Çelişki.

Geriye kalan tek durum $y>1$ durumudur. $$x^3=y^2-y=y(y-1)>0 \Rightarrow x>0$$ bulunur. $$x^2-x+1=y^3>1 \Rightarrow x(x-1)>0$$ elde edilir. $x>0$ olduğundan $x-1>0$ olmalıdır. Buradan $x>1$ elde edilir. Şimdi $x$ ve $y$'i birbiriyle kıyaslayalım.

$i)$ $x=y$ ise $x^2-x+1=x^3$ bulunur. Bu denklemden $(x-1)(x^2+1)=0$ elde edilir. $x=1$ için $y=1$ olmalıdır fakat ikinci denklem sağlanmaz. Çelişki.

$ii)$ $x>y$ ise $$y^2-y=x^3>y^3 \Rightarrow 0>y(y^2-y+1)$$ bulunur. $y>1$ olduğundan $y$ ve $y^2-y+1$ ifadeleri pozitiftir, çarpımları da pozitif olmalıdır. Çelişki.

$iii)$ $x<y$ ise $$x^2-x+1=y^3>x^3\Rightarrow 0>(x-1)(x^2+1)$$ olur. $x>1$ ve $x^2+1>0$ olduğundan çarpımları da pozitiftir. Çelişki

Dolayısıyla çözüm gelen tek durum $y=1$ durumudur, $(x,y)=(0,1)$ tek çözümdür.

[diktendik]

İlk denklemde her tarafı $x+1$ ile çarparak $y^3(x+1)=x^3+1$ bulunur. İkinci denklemden $x^3+1=y^2-y+1$ olduğunuda biliyoruz. Zaten $x^3=y^2-y$'den $x=\sqrt[3]{y^2-y}$ olduğu barizdir. Bunu kullanarak iki denklemi birleştirirsek $$y^3(\sqrt[3]{y^2-y}+1)=y^2-y+1\Rightarrow y^3(\sqrt[3]{y^2-y})=-(y-1)(y^2+1)\hspace{2mm}\text{ve}\hspace{2mm}$$$$y^{10}(y-1)=-(y^2+1)^3\cdot{(y-1)^3}$$ elde edilir. $y=1$ bir çözümdür. $y\neq 1$ ise $y-1$ ile sadeleştirmeyle $y^{10}=-(y-1)^2\cdot{(y^2+1)^3}$ elde edilir. Sol tarafın $\geq0$ sağ tarafın $\leq0$ olduğu açıktır. $0$ durumu için herhangi bir kesişim olmadığıda açıktır. Buradan çözüm gelmez. $y=1$ durumunu ilk denklemlerde denersek $x=0$'in tek çözüm olduğu açıktır. Denklemin $1$ çözümü vardır.