Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 24

[Eray]

Tek kişilik bir oyun oynayan Aslı, ilk hamlesinde boş bir tahtaya iki basamaklı bir pozitif tam sayı yazıyor. Aslı, bundan sonraki her hamlesinde, tahtada yazılı olan sayılardan birinin hem iki katını hem de üç katını tahtaya yazıyor. Birkaç hamle sonucunda tahtadaki bütün sayıların toplamı $2018$, $2020$, $2022$, $2024$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Başlangıçta tahtada yazılı olan sayımız iki basamaklı $x$ olsun. Bu durumda toplam $T=x$ olur.

Şimdi ilk adım sonucunda tahtada $x, 2x, 3x$ sayıları yazılı olur. Toplam $T=6x$ olur.

Şimdi de ikinci adımı inceleyelim.
$x$ için işlem yapılırsa tahtada $x, 2x, 3x, 2x, 3x$ yazılı olur. Toplam $T=11x$ olur.
$2x$ için işlem yapılırsa tahtada $x, 2x, 3x, 4x, 6x$ yazılı olur. Toplam $T=16x$ olur.
$3x$ için işlem yapılırsa tahtada $x, 2x, 3x, 6x, 9x$ yazılı olur. Toplam $T=21x$ olur.

Görüldüğü gibi bu aşamaya kadar, $k\in \mathbb Z$ olmak üzere $T=(5k+1)x$ biçimindedir. Bundan sonra da $T$ nin içinde $5k+1$ biçiminde bir çarpan olma özelliği değişmez. Çünkü tahtada yazılı olan $mx$ gibi bir sayıya işlem yapılınca $2mx, 3mx$ sayıları da oluşur. Bu durumda yeni toplam $T=(5k+1)x + 2mx + 3mx = (5t+1)x$ biçimide olur. ($m, t \in \mathbb Z$)

O halde $2018, 2020, 2022, 2024$ sayıları arasında $5k+1$ çarpanına sahip olanları inceleyelim.

$2018 = 2 \cdot 1009 $ olduğundan $5k+1$ çarpanı yoktur.

$2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101 $ olduğundan $5k+1 = 101$ ve $x=40$ seçilebilir.

$2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337 $ olur. $5k+1$ formunda çarpan bulunabilir ancak iki basamaklı bir $x$ çarpanı yoktur.

$2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 $ olur. $5k+1 = 23\cdot 2 = 26$ ve $x=4 \cdot 11 = 44$ seçilebilir.