Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 23

[Eray]

$L$ ve $U$ gerçel sayılar ve $L<U$ olmak üzere, her $L<a<U$ gerçel sayısı için $9 x^{4}-6 x^{2}=a$ denkleminin dört farklı gerçel kökü bulunuyorsa, $U-L$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{4}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$f(x)=9x^4 - 6x^2$ polinom fonksiyonu ile ve $g(x)=a$ sabit fonksiyonunun grafiklerini çizelim. $f(x)=g(x)$ denkleminin dört farklı gerçel kökü olması için grafiklerin dört farklı noktada kesişmesi gerekir. $y=f(x)$ çift fonksiyonunun grafiği $y$ eksenine göre simetriktir ve aşağıdaki gibi çizilebilir. $a=0$ iken $g(x)=0$ olup $f$ ve $g$ grafikleri orijinde birbirine teğettir. Üç farklı kök oluşur. $a>0$ iken iki farklı kök oluşur. Açıkça $U=0$ bulunur.

Ayrıca $f(x)=(3x^2 - 1)^2 - 1$ yazılabildiğinden $L= f_{\min{}} = -1$ olur. Elbette $a<-1$ iken $f(x)=g(x)$ denkleminin gerçel kökü yoktur.

Sonuç olarak $-1<a<0$ iken verilen denklemin dört farklı gerçel kökü vardır. $U-L=1$ dir.