Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 21

[Eray]

$|A B|=25$ ve $|A C|=40$ olan bir $A B C$ üçgeninin $[B C]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $|B D|=15$ ve $|D C|=24$ tür. Buna göre $A B D$ ve $A C D$ üçenlerinin diklik merkezleri arasındaki uzaklık kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 14
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\dfrac{25}{15}=\dfrac{40}{24}$ oranı sağlandığından $[AD]$ iç açıortaydır. Açıortay uzunluğu $|AD|=8\sqrt{10}$ olarak hesaplanabilir. $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla $H_1$, $H_2$ olsun. Diklikleri kullanarak $m(\widehat{ACB})= m(\widehat{DH_2H_1})$ ve $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{DH_1H_2})$ eşitlikleri kolayca görülebilir. Böylece $ABC \sim DH_1H_2 $ benzerliği vardır. $$\dfrac{|BC|}{|H_1H_2|}=k \tag{1}$$
benzerlik oranı olsun. Ayrıca $k$ benzerlik oranını yükseklikler oranı olan
$$k=\dfrac{|AE|}{|DE|} \tag{2}$$
eşitliği ile hesaplayalım.

$(2)$ oranı aynı zamanda $\tan(\widehat{ADE})$ değerine eşittir. Bu sebeple $ABD$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayarak
$$ \cos(\widehat{ADE}) = \dfrac{15^2 + 640 -25^2}{2\cdot 15\cdot 8\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$$
değerini bulalım. Buradan $$ k=\tan(\widehat{ADE})=3$$ bulunur. Bu değeri $(1)$ de yazarsak $|H_1H_2|=\dfrac{39}{3}=13$ elde edilir.

[geo]

$AH$ yükselik, $H_1$ $\triangle ABD$ nin diklik merkezi, $H_2$ $\triangle ADC$ nin diklik merkezi olsun.
$\angle H_1BH = \angle HAD = \angle HCH_2 = \alpha$ olur. Bu durumda $HH_1 = BH \cdot \tan \alpha$ ve $HH_2 = HC \cdot \tan \alpha$; $H_1H_2 = BC \cdot \tan \alpha = 39 \tan \alpha$ olur.
$AC^2 - AB^2 = CH^2 - BH^2 \Rightarrow (40-25)(40+25) = (HC - BH)(24+15) \Rightarrow HC - BH = 25$.
$HC = 32$, $BH=7$. $\triangle ABH$ bir $7-24-25$ dik üçgenidir. $AH=24$ ve $HD=BD-BH=8$ olduğu için $\tan \alpha = \dfrac 13$ ve $H_1H_2 = 13$ elde edilir.