Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18

[Eray]

$n^{4}+2 n^{3}+4 n^{2}+4 n-62$ ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{A}$

İfade bir tam kare olsun ve bu tam kare $a^2$ olsun. İfadeyi $\displaystyle{(n^2+n-7)(n^2+n+9)=(a-n-1)(a+n+1)}$ biçiminde yazalım. Birkaç deneme-yanılma ile $n$ nin alabileceği değerler $-9,3,7$ olarak bulunur. Rahatlıkla $A$ seçeneğini işaretleyebiliriz. Orijinal çözüm nasıl bilmiyorum ama bunu ileri götürerek ifadenin sol tarafındaki çarpanların arasındaki fark $16$ olduğu kullanılarak veya Obeb-Okek ile bir ispat yapılabilir. Zaman bulunca ispatını ekleyeceğim ama benden erken orijinal çözüm ekleyen olursa çok iyi olur tabi

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{A}$

İki ardışık tamkare arasında tamkare sayı bulunamaz teoreminden yardım alalım.

$(n^2+n+1)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62<(n^2+n+2)^2$ olursa çelişki olur ve asla tamkare olamaz.

eşitliğin sağ tarafı düzenlenirse $n^2+66>0$ yani daima sağlanır. O halde

$(n^2+n+1)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62$ eşitsizliğinin sağlanmamasını istiyoruz.

$(n^2+n+1)^2\ge n^4+2n^3+4n^2+4n-62$

$n^4+2n^3+3n^2+2n+1 \ge n^4+2n^3+4n^2+4n-62$  yani

$n^2+2n-63\le 0 $ bulunur.

Bu eşitsizlik çarpanlarına ayırılarak çözülürse $-9\le n \le 7 $ bulunur. Modüler aritmetik de göz önüne alınarak hızlıca denenirse $-9,3,7$ çözümleri bulunur.


Not:
https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419.0
Bu sorunun benzeri olması açısından  $2,36 ,76, 133 $ numaralı sorular incelenebilir.

Not:
Bu soruda çift $n$ ler $2 \pmod 4$ analizinden gidiyor. $\pmod 5$ ten $n=5$  ve $n=-5$ gidiyor. Buradan da $-9,-7,-3,-1,1,3,7$ değerleri kalıyor. $-9,7$ sınır olduğu için eleniyor. ($(-7)^4+2.(-7)^3+4.(-7)^2+4.-7-62$ yi hesaplarken $5.7^3+4.7^2-90=7^2.(35+4)-90=39.7^2-90$ haline geliyor buradan hesaplamak biraz daha kolay oluyordu diye hatırlıyorum.

[Lokman Gökçe]

Merhaba Atakan, $ - 9\leq n \leq 7$ aralığını hangi modlarda incelediğini biraz daha açabilir misin?

$f(n)=y^2 = n^4 + 2n^3 + 4n^2 +4n-62$ denirse yukarıdaki işlemlerden $f(n)= y^2 = (n^2 +n+1)^2 + (n+9)(n-7)$ olduğu görülüyor. Buradan $f(-9)=73^2$ ve $f(7)=57^2$ kolayca görülüyor. $f(3)=13^2- 48 = 121=11^2$ oldu. Aradaki diğer değerleri direkt denemek pek pratik olmayacak.

[Metin Can Aydemir]

Atakan'ın yaptığı şekilde aralığa sokmaya çalışalım fakat farklı olarak $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62<(n^2+n+2)^2$$ eşitsizliğini elde etmeye çalışalım. Bu eşitsizlik sağlanırsa $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olmak zorunda olacaktır. Yukarıdaki çözümlerde eşitsizliğin sağ tarafının her zaman sağlandığı gösterilmiştir. Sol tarafına bakarsak, $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62\Longleftrightarrow 3n^2+4n-62>0$$ Dolayısıyla istediğimiz eşitsizlik sadece $3n^2+4n-62\leq 0$ iken sağlanılmaz. Bu ikinci dereceden polinomun kökleri $x_1<x_2$ ise $[x_1,x_2]$ aralığı bu polinomu $0$ veya negatif yapar. $n=-6$ ve $n=4$ için ifade pozitiftir fakat $n=-5$ ve $n=3$ için negatiftir o yüzden $n\notin \{-5,-4,\dots, 2,3\}$ için en başta düşündüğümüz eşitsizlik sağlanır ve $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olur. Buradan $n^2+2n-63=(n+9)(n-7)=0$ bulunur ve $n=-9$, $n=7$ çözümleri bulunur.

Geriye $\{-5,-4,\dots, 2,3\}$ aralığını denemek kalır. Eğer $n$ çiftse $n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv 2\pmod{4}$ olacağından tamkare olamaz. $n$ tek sayısı için $n^2\equiv 1\pmod{8}$ ve $4n^2+4n\equiv 0\pmod{8}$ olacağından $$n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv n^2+2n+2\equiv (n+1)^2+1\pmod{8}$$ Eğer ifade tamkareyse $8$ modunda $1$ kalanı vermelidir (tek sayı olacağı barizdir). O yüzden $(n+1)^2\equiv 0\pmod{8}$ olmalı. Yani $n+1\equiv 0\pmod{4}$ olmalıdır. Buradan incelememiz gereken değerler $\{-5,-1,3\}$ kalır. Bunları incelersek $n=3$ için tamkare olur. Toplam $-9+7+3=\boxed{1}$'dir.