Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 17

[Eray]

$|A B|=10$ ve $m(\widehat{B A C})=124^{\circ}$ olan bir $A B C$ üçgeninin $[B C]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $|A D|=4$ ve $m(\widehat{B A D})=68^{\circ}$ dir. $[B D]$ doğru parçası üzerinde alınan bir $E$ noktası için $|B E| /|E D|=5$ tir. $[A B]$ kenarının orta noktası $F$ olmak üzere, $C F$ dogrusu $A D$ ve $A E$ doğrularını sırasıyla $P$ ve $N$ noktalarında kestiğine göre, $A P N$ üçeninin alanının $D E N P$ dörtgeninin alanına oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10}{11}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{16}{17}
$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{D}$

$(\widehat{BAD})=68^\circ$ ve $m(\widehat{DAC})=56^\circ$ olduğundan $AC$, $ABD$ ve $APF$ üçgeninin dış açıortay doğrusudur. Dış açıortay teoreminden: $\displaystyle{\frac{|CD|}{|CB|}}=\displaystyle{\frac{2}{5}}$ elde edilir. Şimdi, $|BE|=5k$ ve $|DE|=k$ ise $|DC|=4k$ olur. $ABC$ üçgeninde Menelaus teoreminden $\displaystyle{\frac{|AP|}{|DP|}=\frac{5}{2}}$ ve $\displaystyle{\frac{|AN|}{|EN|}=2}$ olur. $A(DENP)=A(AED)-A(APN)$ olduğundan ve $AED$ ve $APN$  üçgenlerin kenarlarının oranlarını bildiğimizden ve tepe açıları aynı olduğundan çok kolay bir şekilde $\displaystyle{\frac{A(APN)}{A(DENP)}}=\displaystyle{\frac{10}{11}}$ olduğunu görebiliriz.