Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 11

[Uygar ÖZTÜRK]

Negatif olmayan $a,b$ ve $c$ gerçel sayıları $a+b+c=1$ eşitliğini sağlıyorsa,
$$\displaystyle{\frac{1}{1+4a^2}}+\displaystyle{\frac{1}{1+4b^2}}+\displaystyle{\frac{1}{1+4c^2}}$$
İfadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ \displaystyle{\frac{3}{2}} \qquad\textbf{d)}\ \displaystyle{\frac{5}{2}} \qquad\textbf{e)}\ \displaystyle{\frac{4}{3}}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Genelliği bozmadan $a\geq b\geq c\geq 0$ olsun. $c$'yi sabitleyelim. $a+b=1-c=t\leq 1$ olsun. $\dfrac{1}{1+4c^2}$ de sabit olacağından $$\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}=\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4(t-a)^2}$$ ifadesinin minimum değerini bulmaya çalışalım. $$\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4(t-a)^2}\geq \dfrac{2}{1+t^2}$$ olduğunu gösterelim. Payda eşitlersek, $$\dfrac{8a^2-8ta+(4t^2+2)}{16a^4-32a^3t+a^2(16t^2+8)-8ta+(4t^2+1)}\geq \dfrac{2}{1+t^2}$$ olur, burada da sadeleştirme ve içler dışlar çarpımı yapıp terimleri bir tarafta toplayalım. $$0\geq 16a^4-32a^3t+a^2(12t^2+4)+a(4t^3-4t)-(2t^4-t^2)$$ olur. Göstermek istediğimiz eşitsizlikte $a=\dfrac{t}{2}$ için eşitliğin sağlandığı görülür, yani $(2a-t)$ kök olacaktır. Bunu kullanarak çarpanlarına ayırırsak, $$0\geq (2a-t)^2(-2t^2-4at+4a^2+1)$$ olduğunu göstermeliyiz. $(2a-t)^2\geq 0$ olduğundan $$0 \geq -2t^2-4at+4a^2+1 \Rightarrow 2t^2+4at-(4a^2+1)\geq 0$$ olduğunu göstermek gerekir. $a\geq b\geq c$ ve $a+b+c=1$ olduğundan $1\geq a\geq \dfrac{1}{3}$ ve $2a\geq t\geq \dfrac{a+1}{2}$ bulunur. ($t$ yerine $a+b$ ve $1$ yerine $a+b+c$ koyularak kolaylıkla gösterilebilir.)

$f(x)=2x^2+4ax-(4a^2+1)$ olsun. $$f(2a)=12a^2-1\geq 12\left (\dfrac{1}{3}\right )^2-1>0$$ bulunur. $$f\left (\dfrac{a+1}{2}\right )=\dfrac{-3a^2+6a-1}{2}$$ olur. Ortaya çıkan denklemin köklerinin oluşturduğu aralık $\left (\dfrac{1}{3},1\right )$ aralığını kapsadığı için $a$ değeri iki kök arasındadır, dolayısıyla $f \left( \dfrac{a+1}{2}\right )$ pozitiftir. $f$ fonksiyonunun köklerinin en az birinin negatif olduğu Vieta formülüyle rahatlıkla görülebilir. Bu fonksiyonun pozitif değer alabilmesi için $\dfrac{a+1}{2}$ ve $2a$ değerlerinin $f$ fonksiyonunun köklerinin arasında olmaması gerekir. Bu ifadeler pozitif olduğundan en küçük kökten daha küçük olamazlar yani en büyük kökten daha büyük olmalıdır. $t$ değeri bu iki ifadenin arasında olduğundan $t$ de en büyük kökten daha büyüktür yani $f(t)=2t^2+4at-(4a^2+1)\geq 0$ bulunur. Yani $$\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\geq \dfrac{2}{1+t^2}$$ olur. Dolayısıyla $$\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}+\dfrac{1}{1+4c^2}\geq \dfrac{2}{1+t^2}+\dfrac{1}{1+4(1-t)^2}$$ olur. $a\geq b\geq c$ olduğundan $c\leq \dfrac{1}{3}$ olur. Buradan $t=1-c\geq \dfrac{2}{3}$ elde edilir. Şimdi $\left [\dfrac{2}{3},1\right ]$ aralığında son bulunan ifadenin $2$'den büyük olduğunu gösterelim: $$\dfrac{2}{1+t^2}+\dfrac{1}{1+4(1-t)^2}\geq 2 \Rightarrow \dfrac{9t^2-16t+11}{4t^4-16t^3+18t^2-16t+10}\geq 2 \Rightarrow -8t^4+16t^3-9t^2+1\geq 0$$ $$\Rightarrow (1-t)(8t^3-8t^2+t+1)\geq 0$$ elde edilir. $1-t\geq 0$ olduğunu biliyoruz.  $8t^3-8t^2+t+1$ ifadesinin de $\left [\dfrac{2}{3},1\right ]$ aralığında artan olduğu türevle rahatlıkla gösterilebilir. Dolayısıyla bu ifade minimum değerini $t=\dfrac{2}{3}$ noktasında alır ve bu değer $\dfrac{13}{27}$'dir yani pozitiftir. Buradan ifadenin minimum değerinin $2$ olduğu bulunur. Eşitlik durumu $(a,b,c)=\left (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0 \right )$'dır.

Not: Bu sorunun 1. aşama sorusu olduğu göz önüne alırsak daha basit bir çözümünün var olduğunu düşünüyorum. Daha basit çözüm bulamadığım için bu uzun halini paylaştım. Eğer daha estetik bir çözüm bulursanız ve paylaşırsanız daha faydalı olacağını düşünüyorum.

[DrLucky]

YouTube: Matematik Boyutu kanalında rastladığım daha kısa bir çözüm:

[Metin Can Aydemir]

Çözüm için teşekkürler @DrLucky. Aynı çözümü ben de uzun zaman önce yapmıştım ama buraya eklemeyi unutmuşum Sizin gönderdiğiniz çözüme ek olarak ben bu çözüme nerden ulaştığımı belirteyim ki bu metodu kullanmak isteyenler olabilir.

Eşitsizlik sorularında genellikle bazı ifadeler, $\dfrac{x}{y^2+z}$ gibi birden fazla değişkeni aynı anda içerir ama bu sorudaki gibi $f(a)+f(b)+f(c)$ şeklinde de olabilir. Bu durumda en kolay metotlardan birisi $f(x)\geq g(x)$ olacak şekilde bir $g$ fonksiyonu bulmaktır. Burada $g$ fonksiyonunu soruda verilen sınırlandırıcı eşitliğe göre seçebiliriz. Mesela bu soruda sınırlandırıcı denklem $a+b+c=1$ olduğundan $g(x)=mx+n$ şeklinde seçmek mantıklı olacaktır. Böyle bir $g$ fonksiyonu bulabilirsek $f(x)=\dfrac{1}{1+4x^2}$ için $$f(a)+f(b)+f(c)\geq g(a)+g(b)+g(c)=m(a+b+c)+3n=m+3n$$ olacaktır.  Bazı tahminlerle $g$ fonksiyonunu bulmayı kolaylaştırabiliriz. Mesela, eğer cevabın $2$ olduğuna eminseniz, $m+3n=2$ olacak şekilde $m$ ve $n$ seçmelisiniz. Ayrıca eşitlik durumu $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right )$ olduğundan $f(0)=g(0)$ ve $f\left (\dfrac{1}{2}\right )=g\left (\dfrac{1}{2}\right )$ olacaktır. Bu eşitliklerden $(m,n)=(-1,1)$ bulunur, geriye $f(x)\geq g(x)$ olduğunu göstermek kalıyor ki bunu göstermek oldukça kolay.

Eğer cevabı tahmin edemediyseniz, eşitsizliği düzenlemeyi deneyebilirsiniz. Örneğin, $a+b+c=1$ olduğundan $a,b,c\in [0,1]$'dir. O yüzden $x\in [0,1]$ için $$\dfrac{1}{1+4x^2}\geq mx+n\Longleftrightarrow 0\geq 4x^3m+4x^2n+xm+(n-1)$$ olacak şekilde $m$ ve $n$'yi bulmaya odaklanalım. $3.$ dereceden denklemler karmaşık olabileceği için $n=1$ seçelim. Böylece $x$ parantezine alabiliriz. $x\geq 0$ olduğundan işimize yarayacaktır. $n=1$ için $$0\geq x(4x^2m+4x+m)$$ olur. Eğer $0\geq 4x^2m+4x+m$ olacak şekilde $m$ seçersek sorun kalmaz. Bu noktada deneme yapmak gerekiyor ve bu şekilde $m=-1$ için istenilenin sağlandığını görebilirsiniz. Arada kullanacağınız taktikler değişebilir ama bu yöntem bana göre oldukça kolay bir yöntem. Üstteki, ilk çözümümle karşılaştırarak bunu anlayabilirsiniz 

Son bir taktik olarak, artık bu şekilde soru gelmiyor ama $t$ sabit sayısı için eşitlik durumu $a=b=c=t$ ise o zaman $f(t)=g(t)$ ve $f'(t)=g'(t)$ olacak şekilde $g$ belirlemek çok yüksek ihtimalle soruyu çözecektir.