Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 08

[Uygar ÖZTÜRK]

$N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a_1, a_2, \cdots, a_k$ pozitif tam sayıları $N=a_1 +a_2 +\cdots +a_k$ ve her $1\leq i\leq k$ için $\displaystyle{a_i=a_{k+1-i}}$ koşullarını sağlıyorsa, $(a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_k)$ sıralı $k$-lisine $N$'nin bir simetrik dağılımı diyelim. Örneğin, $(5), (2,1,2)$ ve $(1,1,1,1,1)$ sıralılarının her biri $5$'in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre $28$ sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

$\textbf{a)}\ 12842 \qquad\textbf{b)}\ 13174 \qquad\textbf{c)}\ 14312 \qquad\textbf{d)}\ 15968 \qquad\textbf{e)}\ 16384$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Tüm terimler pozitif olduğundan dolayı $k$, $28$'den büyük olamaz. Şimdi incelemeye geçelim.

i) $k=2m$ ise $14\geq m\geq 1$ olur. Ayrıca $a_i=a_{2m+1-i}$ olduğundan $$a_1+a_2+\dots+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_m)=28$$ $$\Rightarrow a_1+a_2+\dots+a_m=14$$ bulunur. Tüm terimler en az $1$ olacağından, dağılım formülünden $\left( \begin{array}{c} (14-m)+m-1 \\ m-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)$ farklı dağılım bulunur. $m$, $1$ ile $14$ arasındaki herhangi bir tamsayı olduğundan toplam durum $$\sum_{m=1}^{14} \left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)=2^{13}$$ bulunur.

ii) $k=2m-1$ ise benzer şekilde $14\geq m\geq 1$ olur. $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_{m-1})+a_m=28$$ bulunur. $a_m$ çift olmalıdır. $a_m=2n$ için $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+n=14$$ bulunur. İlk şıktakinin aynısı bir durum olduğundan burada da toplam durum $2^{13}$'dür.

Her iki durumda da $2^{13}$ dağılım olduğundan toplamda $2^{13}+2^{13}=2^{14}=16384$ simetrik dağılım vardır.

[RazorRizelim]

$f(x)$, $x$’inci sayının simetrik dağılım sayısı olsun. (Örneğin $f(2)=2$ ve $f(4)=4$). $f(2n)$’yi bulmaya çalışalım:

$i)$ $a_1 = a_k = 1$ ise içerdeki sayıların toplamı $2n-1-1$ olmalıdır. $\Rightarrow f(2n-2)$ kadar diziliş

$ii)$ $a_1 = a_k = 2$ ise içerdeki sayıların toplamı $2n-2-2$ olmalıdır. $\Rightarrow f(2n-4)$ kadar diziliş

$\cdots$

$i_x)$ $a_1 = a_k = n-1$ ise içerdeki sayıların toplamı $2n-(n-1)-(n-1)=2$ olmalıdır. $\Rightarrow f(2)$ kadar diziliş

ve son olarak $a_1 = a_k = n \Rightarrow f(0)$ kadar diziliş

bunlara ek olarak $a_1 = a_k = n$ durumu (1 diziliş)

sonuç olarak
\[
f(2n)= f(0) + f(2) + \cdots + f(2n-2) + 1.
\]

küçük değerleri bularak $f(0)=1$, $f(2)=2$, $f(4)=4$, $f(6)=8$  $\cdots$  ve buradan $f(2n)=2^n$ (tümevarımla ispatlayabilirsiniz) ve $f(28)=2^{14}$ olur.